Esta es una gran pregunta y como es habitual por la respuesta es que Sean Carroll, es absolutamente correcto. :) Javier ha dado una gran razón por la que esto es algo obvio expectativa, pero a veces me parece que estas preguntas apuntan a una mucho más profunda confusión conceptual así que voy a tratar de decirle a usted cómo funciona "el camino difícil" en la esperanza de que ayudará a rectificar cualquier confusiones conceptuales.
Para ver esto requiere de lo que puede ser una perspectiva diferente sobre la geometría diferencial de lo que estamos acostumbrados y lo tensor de campos, pero vamos a trabajar a través de él. ¿Qué significa tener tensor de campos en algunos colector $\mathcal M$?
Campos escalares
Empezamos con los campos escalares, como siempre. Este conjunto $\mathcal S \subseteq (\mathcal M \to \mathbb R)$ generalmente no es igual al conjunto completo de funciones de $\mathcal M \to \mathbb R$ porque normalmente queremos considerar sólo los escalares que varían suavemente sobre el conjunto de entrada; luego de llegar a un gran interrogante acerca de cómo se defina "sin problemas variar" cuando no se conoce la estructura de este conjunto $\mathcal M$ y ¿qué haces con eso?! Una buena definición es la de decir que se puede reinterpretar cualquier función suave de $\mathbb R^n$ $\mathbb R$(se diría que, para cualquier función en $C^\infty(\mathbb R^n,~\mathbb R)$) como una función de $\mathcal S^n \to (\mathcal M \to \mathbb R)$ a través de la aplicación "pointwise". Me gusta utilizar los corchetes para indicar cuando la vas a usar la segunda forma, los paréntesis cuando la vas a usar la primera forma: en otras palabras, $$f[s_1,~ s_2,~ \dots s_n] = p \mapsto f\big(s_1(p),~s_2(p),~\dots s_n(p)\big).$$We can then refine this as a closure axiom on $\mathcal S$ to state that all smooth functions actually map $\mathcal S^n \\mathcal S$, they all map into this "smooth scalar fields" subset, for all $n$. It turns out that this is enough to define addition $(+)$ and multiplication $(\cdot)$ on scalar fields, as well as constant fields and a topology on $\mathcal M$ such that all of the functions of $\mathcal S$ are continuous. It helps to have a name for this "reinterpret a smooth function on the reals as a function on the scalar fields," so I call such a thing an $$n-functor, en parte porque hay un lindo categoría del diagrama por ahí.
Así como un control ejemplo, cuando estamos tratando con la 2-esfera (el límite del 3-bola) por lo general admiten que las coordenadas 3D $x$ $y$ $z$ están permitidos los campos escalares en la 2-esfera, y luego nos cierran sobre todas las $n$-functors para todos los $n$, y tenemos un colector.
Vectores
Luego nos tumbamos en con los campos vectoriales, y los matemáticos suelen definir estos como el conjunto $\mathcal V$ de derivaciones, que son los lineales de los mapas de $\mathcal S \to \mathcal S$ que obedecer a la de Leibniz de la ley, que dice que por cada $n$-functor $f$ tal derivación $V$ debe obedecer $$V~\big(f[s_1,~s_2,~\dots s_n]\big) = \sum_{i=1}^n \partial_i f[s_1,~s_2,~\dots s_n]\cdot V s_i,$$where here $\partial_1,\partial_2,\dots$ sólo significa "derivada parcial con respecto a la primera (resp. segundo, tercero, ...) con el argumento de mantener el resto de los argumentos constante."
"¿Cómo son los vectores?! Voy a tener componentes para mi vectores!" Te oigo preguntar. Bueno, sí: uno de nuestros axiomas que hace que $\mathcal M$ a una $D$-dimensiones del colector es que sobre cualquier punto en $\mathcal M$ habrá un barrio (en el sentido de las anteriores inducida por la topología), donde todos los puntos se pueden distinguir por lo menos uno de $D$ campos escalares, llamados "campos de coordenadas", y todos los campos escalares puede ser expresado como $D$-functor de los campos de coordenadas.
Así que, dado que los campos de coordenadas $\hat c_1,~\hat c_2,~\dots \hat c_D$ puede así definir las derivadas parciales con respecto a ellos, en este barrio, $\hat \partial_1,~\hat \partial_2,~\dots \hat \partial_D,$ y en este barrio que obedecer a la de Leibniz, por encima de la ley. Entonces yo reclamo que $\hat v_i = V \hat c_i$ son campos escalares que funcionan como componentes para el vector de campo dentro de este barrio, y que en el barrio $V = \sum_{i=1}^D \hat v_i ~ \hat \partial_i.$ $V$ tiene este carácter global, pero al llegar a lo que es en cualquier barrio, usted todavía consigue su familiar componentes del vector!
Sin embargo, como se puede decir que esta es una gran definición, porque hace que la geometría wonks feliz: cada "campo de vectores" en $\mathcal V$ claramente tiene una existencia objetiva en todas partes y simplemente "sucede" a ser descrita por estos números determinados en este barrio en particular.
Tensor de campos
Ok, ahora tenemos uno más ligera excursión porque queremos covariante y contravariante de vectores. Hemos definido un campo vectorial arriba; un "covector campo" es simplemente un mapeo lineal de $\mathcal V \to \mathcal S.$ Cuando se suman los axiomas para una métrica de conseguir que este espacio es isomorfo a $\mathcal V,$ con la métrica tensor de proporcionar una canónica de la traducción entre los dos. Aún así, vale la pena mantener los dos espacios separados, así que llame a $\mathcal V^\bullet$ el habitual espacio vectorial y llame a $\mathcal V_\bullet$ el covector espacio.
Finalmente podemos definir el tensor de campos; este viene con una definición y un axioma. La primera definición: una $[m,n]$-tensor de campo es cualquier lineales de asignación de $m$ copias de $V_\bullet$ $n$ copias de $V^\bullet$ $\mathcal S.$bastante Simple, ¿verdad? Pero esto es en realidad extremadamente potente: usted verá muchas pruebas que dicen "hey, este es un mapeo lineal de una $[0,2]$ tensor a un $[1,1]$ tensor y por lo tanto es en realidad algo de $[3,1]$ tensor." Muy ricas cosas.
Segundo, la notación. Ahora podemos usar "abstract índice de notación" como una forma de mantener todas esas "copias de $V^\bullet$ $V_\bullet$" recta. Básicamente nos basta con sustituir el $\bullet$ agujeros con cualquier símbolo que desee, siempre y cuando podamos distinguirlos de copias diferentes. Luego, cuando queremos que apunte a "este covector vive en ese espacio" también proporcionamos con un correspondiente superíndice o subíndice: lo $v^a$ es un campo de vectores que viven en la copia de $\mathcal V^\bullet$ a que llamamos $\mathcal V^a.$, por ejemplo, podemos definir el tensor de espacio $\mathcal T^{abc}_{de}$ como este espacio de lineal mapas de $\mathcal V_a \times \mathcal V_b \times \mathcal V_c \times \mathcal V^d \times \mathcal V^e$ $\mathcal S.$Todos los de la teoría de la obra es escrita con esta notación conveniente.
El revés de la naturaleza de los índices en $\mathcal T$ es porque tenemos una sencilla incorporación de la $\mathcal V^a$ $\mathcal T^a$ asignación de covectors en $\mathcal V_a$ a los escalares en $\mathcal S.$, Además, tenemos una straighforward exterior del producto; tomamos unas vector $u^a$ y algunos covector $v_b$ y forma un tensor $u^a v_b$ $\mathcal T^a_b.$
Ahora llegamos al axioma. Necesitamos esto para realmente permitir que el $[3,1]$ tensor hablamos de arriba para actuar en ese $[0, 2]$ tensor, así como para permitir que las contracciones de $[m+1, n+1]$-tensores de abajo a $[m, n]$-tensores. Así que necesitamos una manera de reducir los tensores a los vectores y covectors. El axioma es que cualquier $[m, n]$-tensor puede ser escrita como una suma finita de exterior de productos de un montón de otros vectores y covectors, $$T^{ab\dots k}_{\ell m\dots z} = \sum_{\text{Greek}} \alpha^a~ \beta^b~ \dots ~\kappa^k~ \lambda_\ell~ \mu_m~ \dots~ \zeta_z.$$
Con este axioma es mucho más fácil decir "vamos a contrato a través de este índice, tengo un índice $k$ por encima y un índice $\ell$ por debajo, pero voy a hacer esta expansión y, a continuación, aplicar el covector en el espacio $\mathcal V_\ell$ a el vector en el espacio $\mathcal V^k$, que se une a las dos espacios en un escalar múltiples y conseguir un tensor en $\mathcal T^{ab\dots j}_{mn\dots z}$ a la izquierda." Del mismo modo, podemos entender cómo hacer un tensor de operar en otro tensor porque secretamente todos están hechos de estos vectores.
Si ayuda, pensar en hacer una $M$ $N$ matriz de fundamental $M$ $N$ matrices que tienen un 0 para todos los índices excepto uno donde tienen algún número real, usted puede utilizar un número finito de suma para hacer de su deseada de la matriz. Eso es lo que estoy afirmando es posible que con el anterior axioma.
Y este axioma es también la respuesta a su pregunta. Dado que el axioma de las fuerzas de coordenadas independientes del tensor de tener una coordenada independiente de la división en términos de estos vectores y covectors, cuando utilizamos el otro axioma para introducir a los campos de coordenadas, a continuación, hemos componentes (aplicamos el covector partes a $\hat c_i$ y el vector de piezas de a $\hat \partial_j,$) y dado que estos componentes podemos identificar un único vector o covector.
La única sutileza aquí es que, como con la esfera, la elección de campos escalares $x$ $y$ "coordenadas" sólo funciona en un determinado barrio, un hemisferio del total de la esfera. Es posible que prefiera coordenadas esféricas $\phi, \theta$ pero $\theta$ es discontinuo y no es por lo tanto un campo escalar! Pero me refiero, $\theta$ es un buen contraejemplo demasiado; no es un campo escalar, pero es liso sobre un hemisferio. Así que hay otro axioma que dice, básicamente, "si puedo hacer una función de $\mathcal M to \mathbb R$ a trozos sobre la superposición de piezas que abarcan todo el espacio, que parece ser suave en cada pieza, luego de que la función es un campo escalar," que nos ayuda a resolver este problema. $\theta$ empieza a no estar de acuerdo con el mismo o bien convertirse en discontinuo como intenta difundir su definición alrededor de la esfera.
Dado que ese axioma, sí, el tensor con los componentes a lo largo de todo el espacio que realmente es el único tensor con esos componentes.
