Es el más pequeño no 1 divisor de un número siempre prime?

Question

Estoy trabajando en algunas cosas relacionadas con la aritmética de los derivados, y yo estaba escribiendo un programa para calcular la media aritmética de derivados. En trabajar en mi programa me llegó a través de una suposición que me han hecho, pero yo no podía probar que era verdad y era muy frustrante para mí.

Mi hipótesis es que para cualquier $n \in \mathbb{N}$, el número más pequeño, $a \in \mathbb{N}/\{1\}$ tal que $a \vert n$ deberían ser los principales. Mi comienzo de una prueba de ello fue este

Utilizando el teorema fundamental de la aritmética, para todos los $n \in \mathbb{N}/\{1\}$, $n$ es primo, o que $n$ tiene una única factorización prima. Si $n$ es primo, la prueba es trivial, como la descomposición en factores primos para todos los $p \in \mathbb{P}$ es sólo $p$; sin embargo, para el caso de $n$ compuesto, la prueba se hizo muy difícil para mí.

Para el caso de un número $c$ tal que $c \in \mathbb{N}/\{1\}$$c \notin \mathbb{P}$, podemos decir que existe al menos dos números, $a$ $b$ tal que cumplir con los siguientes cuatro declaración

1. $1 < a \le b < c$
2. $a \vert c$
3. $b \vert c$
4. $ab = c$

Mi proceso de pensamiento de lo que iba a dividir $c$ en las probabilidades y los pares. Podemos decir que este teorema es verdadero para todos los números pares, $e$, en lugar trivialmente así, porque para todos los $e \in \{2k:\mathbb{N}/\{1\}\}$ que $2\vert e$ $2$ también es el entero más pequeño que podrían cumplir con los criterios anteriores haciendo de ese $a = 2$ y cumpliendo el teorema para todos los números pares.

La parte que no puedo averiguar, sin embargo, es de los números impares. Mi intuición me dice que esto debe ser verdad, pero no puedo encontrar una prueba de este teorema de las probabilidades y me preguntaba si

1. Es este teorema realmente cierto?
2. Si es así, ¿cómo puede ser comprobado por las probabilidades?

Answer 1

Deje $n\in\Bbb N$ y deje $a\in\Bbb N\setminus\{1\}$ ser el menor divisor de $n$. Si $a$ es primo, ya está hecho. Si no, entonces $a$ es compuesto, y por lo tanto puede ser escrito $a = bc$$b,c\in\Bbb N\setminus\{1\}$. Pero, a continuación,$b,c < a$, e $b\mid n$, contradiciendo la suposición de que $a$ era el menor divisor.

Answer 2

No hay contradicción: sólo tiene que utilizar la definición de número primo.

Consideremos el conjunto a $D=\{a\in\mathbb{N}:a\mid n, a>1\}$. El conjunto es no vacío, debido a que $n\in D$ (asumiendo $n>1$, por supuesto).

Deje $p=\min D$. Si $x\mid p$,$x\mid n$$x\le p$. Si también se $x>1$,$x\in D$. Por minimality de $p$, llegamos a la conclusión de $x=p$. Por lo tanto, $p$ es primo.

Answer 3

Uno también puede evitar que una prueba por contradicción. Por el teorema fundamental de la aritmética, cada divisor $d > 1$ $n$ es un producto de algunos de los números primos dividiendo $n$.

Deje $p$ el menor divisor primo de $n$. Por lo anterior, todos los divisores $d > 1$ $n$ son mayores o iguales a $p$, como cada una de dichas $d$ es un producto de factores iguales o superiores a $p$.

Answer 4

Si usted sólo quiere demostrar que los más pequeños no 1 divisor de un número es siempre el primer, todo lo que tienes que hacer es proceder por la contradicción.

Deje que N sea un número compuesto ( par o impar no importa ). Supongamos que N es menor no 1 divisor no es un número primo, vamos a llamar a este compuesto en el divisor. c. Si c está compuesto, a continuación, utilizando el teorema fundamental de la aritmética, c puede ser expresado como la factorización de números primos todos los < a. c. Sea p uno de c factores. Entonces, dado que la c | N y el p | c p | N , pero p < c ( puesto que p es un factor de c ), lo que contradice la suposición de que el menor divisor de N es c.

No sé si esto es lo que quería y si he sido lo suficientemente claro.