En $\mathbb{R}^4$ con coordenadas $x_1,x_2,x_3,x_4$ considera que la métrica de riemann $g:=\displaystyle{\frac{dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2+dx_4^2}{x_1^2+x_2^2}}$ definido en $X:=\{x_1^2+x_2^2\neq 0\}$ y llame a $d$ intrínseco de la inducida por la métrica.
¿Cómo puedo calcular explícitamente $d(p_1,p_2)$ cualquier $p_1,p_2\in X$?
Supongamos, por ejemplo,$p_1=(1,0,1,0)$$p_2=(1,1,2,2)$.
Yo calcula las ecuaciones geodésicas
$$\ddot \gamma_1=\frac{2\gamma_2\dot\gamma_1\dot\gamma_2+\dot\gamma_1(\dot\gamma_1^2-\dot\gamma_2^2-\dot\gamma_3^2-\dot\gamma_4^2)}{\gamma_1^2+\gamma_2^2}$$
$$\ddot \gamma_2=\frac{2\gamma_1\dot\gamma_1\dot\gamma_2-\dot\gamma_2(\dot\gamma_1^2-\dot\gamma_2^2+\dot\gamma_3^2+\dot\gamma_4^2)}{\gamma_1^2+\gamma_2^2}$$
$$\ddot \gamma_3=\frac{2(\gamma_1\dot\gamma_1+\gamma_2\dot\gamma_2)\dot\gamma_3}{\gamma_1^2+\gamma_2^2}$$
$$\ddot \gamma_4=\frac{2(\gamma_1\dot\gamma_1+\gamma_2\dot\gamma_2)\dot\gamma_4}{\gamma_1^2+\gamma_2^2}$$
que tienen las siguientes soluciones:
$$\gamma_1=\frac{k\operatorname{sech}(kt+d)\cos(at+b)}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
$$\gamma_2=\frac{k\operatorname{sech}(kt+d)\sin(at+b)}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
$$\gamma_3=\frac{Ak\operatorname{tanh}(kt+d)}{A^2+B^2}+c_1$$
$$\gamma_4=\frac{Bk\operatorname{tanh}(kt+d)}{A^2+B^2}+c_1$$
donde $k,d,a,b,A,B,c_1,c_2$ son constantes, $\operatorname{sech}$ es la secante hiperbólica y $\operatorname{tanh}$ es la tangente hiperbólica.
La distancia $d(p_1,p_2)$ es tal que no existe una geodésica $\gamma=(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4):[0,d(p_1,p_2)]\rightarrow X$ de la forma anterior con $\gamma(0)=p_1,\gamma(d(p_1,p_2))=p_2$.
Todavía no está claro para mí lo que es la forma más sencilla de calcular las $d(p_1,p_2)$: debo encontrar constantes $k,d,a,b,A,B,c_1,c_2$ tal que existe una geodésica $\gamma$ y una constante de $d(p_1,p_2)$$\gamma(0)=(1,0,1,0)$$\gamma((d(p_1,p_2))=(1,1,1,2)$? Esto parece muy complicado y no directamente solucionable. Me puede sugerir otra manera de proceder?
