Cómo encontrar los ceros de esta función?

Question

Hay una función, llamada $f(x)$, donde:

$$ f(x) = 2(x-a) + 2\cos x (\sin x - b) $$

$un$ and $b$ are constants. I would like to find all the possible values of $x$ where $ f(x) = 0 $

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He tratado de resolver de esta manera:

Primero he simplificado la ecuación: $$ 2x - 2a + 2\cos x\sin x - 2b\cos x = 0 $$ A continuación, he sustituido el$2\cos x\sin x$$\sin 2x$, y se trasladó al otro lado: $$ 2a - 2x + 2b\cos x = \sin 2x$$ Después de que me sirve la arcsinefunción de: $$ x_1 = \frac{1}{2} \arcsin(2a - 2x + 2b\cos x) + 2n\pi$$ $$ x_2 = \pi - \frac{1}{2} \arcsin(2a - 2x + 2b\cos x) + 2n\pi$$

I don't know how to continue it. It is probably a dead end. Could you please give me hints about how should I solve it?

I would like to express $x$ without using $x$.

Answer 1

Esta no es una respuesta (ya que en realidad no resuelve la cuestión enunciada), pero tal vez el otro punto de vista, es útil a alguien.

La ecuación original $$ 2 (x - a) + 2 \cos(x)(\sin(x) - b) = 0$$ también puede ser simplificado a $$ x = a + b \cos(x) - \cos(x) \sin(x)$$ y desde $\cos(x) \sin(x) = \sin(2 x)/2$, a $$ x = a + b \cos(x) - 1/2 \sin(2x)$$ o $$ x - a = b \cos(x) - 1/2 \sin(2x) \tag{1}\label{1}$$

Esto también significa que la gama de posibles soluciones son bien limitados, $$ a - \lvert b \rvert - 1/2 \; \le \; x \; \le a + \lvert b \rvert + 1/2 $$ es decir, a un $2 \lvert b \rvert + 1$ -tamaño oscila alrededor de los $a$: $$ \lvert x - a \rvert \; \le \; \lvert b \rvert + 1/2 $$

Tenga en cuenta que el lado izquierdo de la ecuación ($\eqref{1}$ es una línea recta con pendiente $1$ ($y = x - a$). El lado derecho es una $2 \pi$-función periódica con la amplitud de la $\lvert b \rvert+1/2$ (a menos que $b = 0$, en cuyo caso el lado derecho es una $\pi$-periódico de la onda sinusoidal con amplitud $1/2$). Las soluciones son sus intersecciones. Cuando la búsqueda de soluciones numéricas para el caso general (es decir, $a$ $b$ se dan numéricamente), este enfoque produce muy buenos puntos de partida, de manera intuitiva, de modo que los simples métodos iterativos puede ser utilizado para encontrar todas las soluciones rápidamente.

Answer 2

Tal vez si pensamos en no resolver en $x$, pero tomando una solución de la forma para encontrar$a$$b$, por ejemplo; supongamos que se tiene una solución de formulario:

$2(x-a)=0$

y

$2\cos x(\sin x - b)=0$

Si hemos separado resolver estas ecuaciones, podemos encontrar una $a$-$b$ relación que se puede trabajar para encontrar una solución para la ecuación original...