Supongamos que tenemos una familia de conjuntos de $A_{mn}$. Cuando hace $$ \bigcap_{m\in\mathbb{N}}\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{mn}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\bigcap_{m\in\mathbb{N}}A_{mn}? $$ Por ejemplo, si $A_{mn}=(\frac{m}{n},\infty)$, a continuación, el lado izquierdo es $(0,\infty)$ y el lado derecho es $\varnothing$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Que distribuir pero no conmutan.
Para simplificar las cosas, supongamos que tenemos sólo cuatro conjuntos de $A_{ij}, i=1\ldots 2, j=1\ldots 2$. En el lado izquierdo tienes $$ L = \bigcap_{m=1}^2 \bigcup_{n=1}^2 A_{mn} = (A_{11} \cup A_{12}) \cap (A_{21} \cup A_{22})$$ En la parte derecha se $$ R = \bigcup_{n=1}^2 \bigcap_{m=1}^2 A_{mn} = (A_{11} \cap A_{21}) \cup (A_{12} \cap A_{22})$$ Usando la ley distributiva en $L$ da $$ L = (A_{11} \cap A_{21}) \cup (A_{11} \cap A_{22}) \cup (A_{12} \cap A_{21}) \cup (A_{12} \cap A_{22})$$ Por lo $R$ falta de los términos de $A_{11} \cap A_{22}$$A_{12} \cap A_{21}$. En orden para $L=R$, los que deben estar contenidas en algunos de los términos que están presentes.
De manera similar, en el caso infinito, la condición de igualdad es que $\bigcap_{m=1}^\infty A_{m,n_m} \subseteq \bigcup_{n} \bigcap_{m} A_{mn}$ por cada secuencia $n_1, n_2, \ldots$ de los enteros positivos.
