Desigualdad Trigonométrica. $\sin{1}+\sin{2}+\ldots+\sin{n} <2$ .

Question

Cómo puedo demostrar la siguiente desigualdad trigonométrica :

$$\sin1+\sin2 +\ldots+\sin n <2$$ con $n \in \mathbb{N}^{*}$ .

El problema es que no sé cómo iniciar este problema, intento usar alguna fórmula pero nada. Agradeceré su apoyo.

Trato de resolver esta desigualdad sin series, ni información sobre matemáticas de análisis.

Gracias :)

Answer 1

Si realmente no quieres utilizar la fórmula de la suma geométrica, puedes hacerlo haciendo un uso repetido de la identidad $$\cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \, .$$ Configuración $a=k+1/2, b=k-1/2$ y reordenando, tenemos

$$\sin k=\frac{\cos(k+1/2)-\cos(k-1/2)}{-2 \sin (1/2)} \, .$$

Así que el lado izquierdo de su ecuación se puede escribir como $$ \frac{1}{-2 \sin (1/2)}\left(\cos (3/2)-\cos(1/2)+\cos(5/2)-\cos(3/2)+\dots+\cos (n+1/2)-\cos (n-1/2)\right) \, ; $$ todos los términos menos dos se anulan, dejando $$ \frac{\cos(n+1/2)-\cos(1/2)}{-2 \sin(1/2)} \, , $$ cuyo valor absoluto está limitado por $\frac{\cos(1/2)+1}{2 \sin(1/2)} \approx 1.9582$ .

(Sin embargo, en secreto, esto es sólo la suma geométrica de la otra respuesta disfrazada...)

Answer 2

Estrategia global

• Uso de la fórmula de Euler $ \forall \theta \in \mathbb{R}: ~ e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta) $ Obsérvese que $$ \forall \theta \in \mathbb{R}, ~ \forall n \in \mathbb{N}: \quad \sum_{k=1}^{n} e^{ik \theta} = \sum_{k=1}^{n} \cos(k \theta) + i \sum_{k=1}^{n} \sin(k \theta). $$

• Obsérvese que el lado izquierdo de esta ecuación es un finito serie geométrica.

• Por lo tanto, se puede obtener una expresión de forma cerrada para el lado izquierdo.

• Tomando la parte compleja de esta expresión y dejando que $ \theta = 1 $ se obtiene una expresión de forma cerrada para su suma.

• Por último, aplica los conocimientos básicos de trigonometría para demostrar que la suma está estrictamente acotada por encima de $ 2 $ .

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Anexo

Esta adición sirve para demostrar que la expresión de forma cerrada requerida para $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \sin(k) $ puede derivarse, sin mucha dificultad, de la fórmula de Euler.

Para $ \theta \notin 2 \pi \mathbb{Z} $ Obsérvese que \begin {align} \forall n \in \mathbb {N}: \quad \sum_ {k=1}^{n} e^{ik \theta } &= \frac {e^{i \theta } (1 - e^{in \theta })}{1 - e^{i \theta }} \\ &= \frac {e^{i \theta } (1 - e^{in \theta })}{1 - e^{i \theta }} \cdot \frac {e^{-i \theta /2}}{e^{-i \theta /2}} \\ &= \frac {e^{i \theta /2} (1 - e^{in \theta })}{e^{-i \theta /2} - e^{i \theta /2}} \\ &= \frac {e^{i \theta /2} - e^{i[n + (1/2)] \theta }}{e^{-i \theta /2} - e^{i \theta /2}} \\ &= \frac { \left [ \cos \left ( \frac {1}{2} \theta \right ) + i \sin \left ( \frac {1}{2} \theta \right ) \right ] - \left [ \cos \left ( \left ( n + \frac {1}{2} \right ) \theta \right ) + i \sin \left ( \left ( n + \frac {1}{2} \right ) \theta \right ) \right ]}{-2i \sin \left ( \frac {1}{2} \theta \right )} \\ &= \left [ \frac { \sin \left ( \left ( n + \frac {1}{2} \right ) \theta \right ) - \sin \left ( \frac {1}{2} \theta \right )}{2 \sin \left ( \frac {1}{2} \theta \right )} \right ] + i \left [ \frac { \cos \left ( \frac {1}{2} \theta \right ) - \cos \left ( \left ( n + \frac {1}{2} \right ) \theta \right )}{2 \sin \left ( \frac {1}{2} \theta \right )} \right ]. \end {align}

Así hemos matado dos pájaros de un tiro: \begin {Ecuación} \sum_ {k=1}^{n} \cos (k \theta ) = \left\ { \begin {array}{ll} \frac { \sin \left ( \left ( n + \frac {1}{2} \right ) \theta \right ) - \sin \left ( \frac {1}{2} \theta \right )}{2 \sin \left ( \frac {1}{2} \theta \right )} & \text {si $ \theta \notin 2 \pi \mathbb{Z} $ }; \\ n & \text {si $ \theta \in 2 \pi \mathbb{Z} $ }. \end {array} \right. \end {Ecuación}

\begin {Ecuación} \sum_ {k=1}^{n} \sin (k \theta ) = \left\ { \begin {array}{ll} \frac { \cos \left ( \frac {1}{2} \theta \right ) - \cos \left ( \left ( n + \frac {1}{2} \right ) \theta \right )}{2 \sin \left ( \frac {1}{2} \theta \right )} & \text {si $ \theta \notin 2 \pi \mathbb{Z} $ }; \\ 0 & \text {si $ \theta \in 2 \pi \mathbb{Z} $ }. \end {array} \right. \end {Ecuación}

Dejar $ \theta = 1 $ obtenemos $$ \sum_{k=1}^{n} \sin(k) = \frac{\cos \left( \frac{1}{2} \right) - \cos \left( n + \frac{1}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{1}{2} \right)}. $$

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Ahora, define una función $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ por $$ \forall x \in \mathbb{R}: \quad f(x) \stackrel{\text{def}}{=} \frac{\cos \left( \frac{1}{2} \right) - \cos \left( x + \frac{1}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{1}{2} \right)}. $$ Como $ \text{Range}(\cos) = [-1,1] $ se deduce que \begin {align} \text {Rango}(f) &= \left [ \frac { \cos \left ( \frac {1}{2} \right ) - 1}{2 \sin \left ( \frac {1}{2} \right )}, \frac { \cos \left ( \frac {1}{2} \right ) + 1}{2 \sin \left ( \frac {1}{2} \right )} \right ] \\ &= [-0.12767096 \ldots ,1.95815868 \ldots ] \\ & \subseteq [-2,2]. \end {align}

Defina también una función $ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ por $$ \forall x \in \mathbb{R}: \quad g(x) \stackrel{\text{def}}{=} \frac{\sin \left( x + \frac{1}{2} \right) - \sin \left( \frac{1}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{1}{2} \right)}. $$ Como $ \text{Range}(\sin) = [-1,1] $ se deduce que \begin {align} \text {Rango}(g) &= \left [ \frac {-1 - \sin \left ( \frac {1}{2} \right )}{2 \sin \left ( \frac {1}{2} \right )}, \frac {1 - \sin \left ( \frac {1}{2} \right )}{2 \sin \left ( \frac {1}{2} \right )} \right ] \\ &= [-1.54291482 \ldots ,0.54291482 \ldots ] \\ & \subseteq [-2,2]. \end {align}

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Conclusión: $ \displaystyle \left| \sum_{k=1}^{n} \sin(k) \right| < 2 $ y $ \displaystyle \left| \sum_{k=1}^{n} \cos(k) \right| < 2 $ para todos $ n \in \mathbb{N} $ .