Algunas preguntas sobre la desigualdad de Taylor.

Question

La desigualdad de Taylor. Si $|f^{n + 1}(x)| \le M$ para $|x - a|\le d$ , entonces el resto $R_n(x)$ de la serie de Taylor satisface la desigualdad $$|R_n(x)| \le {M\over{(n + 1)!}}|x - a|^{n + 1} \text{ for }|x - a| \le d.$$

Tengo algunas preguntas sobre la desigualdad de Taylor.

1. ¿Cuál es la intuición detrás de la prueba?
2. ¿Por qué debería importarme, es decir, cómo se aplica?

Answer 1

La demostración se desprende inmediatamente de la demostración del teorema de Taylor, que supongo que es lo que quieres que te explique. Recordemos que $f'$ es la mejor aproximación lineal para $f$ en el sentido de que $f(x) \approx f(c) + f'(c)(x - c)$ para $x \approx c$ . El teorema de Taylor es básicamente una extensión de esta idea. Supongamos que queremos aproximar una función cerca de $c$ por un grado $n$ polinomio $$p_n(x) = a_1 + a_1(x - c) + a_2(x - c)^2 + \cdots + a_n(x - c)^n.$$ La evolución de una función viene determinada por sus derivadas. Si $x$ está muy cerca de $c$ , entonces como las derivadas son continuas, $f^{(k)}(x)$ está muy cerca de $f^{(k)}(c)$ . Así que puedes imaginar que si hacemos $p^{(k)}_n(c) = f^{(k)}(c)$ entonces $p_n$ será una aproximación bastante buena de $f$ cerca de $c$ . Si usted $k$ los tiempos diferencian $p_n$ y enchufar $c$ , se obtiene $k!a_k$ . Así que queremos elegir $a_k = f^{(k)}(c)/k!$ (es decir, el coeficiente de Taylor).

En cuanto a por qué debería importarnos, la utilidad viene del hecho de que el teorema te da una forma de aproximar funciones con polinomios, que son lo más fácil de entender y lo mejor que se puede esperar. Si se coge una calculadora y se teclea algo como $\sin(27)$ En realidad, la calculadora está utilizando estos polinomios de Taylor para calcular la aproximación racional que le da. Además, la identidad de Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ se deduce de la sustitución de $i\theta$ en la serie de Taylor para $e^x$ , $\cos x$ y $\sin x$ .