Pregunta: Un espacio vectorial es un grupo abelian con algo más de estructura. Dado dos espacios vectoriales V1 × V2, muestran que el grupo de V1 × V2 es un espacio vectorial.
Alguien puede explicarme la primera frase? Sobre todo por qué es conmutativa? En cuanto a la segunda frase, es justo decir que el producto de espacios vectoriales es espacio vectorial? ¿Por qué se habla de "grupo" V1 × V2 en particular?
Thx de antemano~
Como se recordará, una (real) espacio vectorial es un conjunto $A$ junto con las operaciones de ${+}: A\times A\to A$ ${\cdot}:\mathbb R\times A\to A$ que satisfagan ciertas condiciones. Lo que ocurre es que esas condiciones implican que $(A,{+})$ es un grupo abelian. Así que si usted toma cualquier espacio vectorial y se olvida de cómo la multiplicación escalar de obras, lo que queda es un grupo abelian.
Por el contrario, también puede imaginar que el espacio vectorial surgió por tomar un abelian grupo y, a continuación, definir un producto escalar: este es el sentido en que se puede decir que un espacio vectorial "es un grupo abelian con una estructura adicional"; la "estructura adicional" es la multiplicación escalar. Tenga en cuenta que no todos los abelian grupos que pueden ser realizadas en espacios vectoriales de esta manera, y algunos abelian grupos tienen más de una posible multiplicación escalar, el mismo grupo se pueden hacer en varios diferentes espacios vectoriales por la elección de diferentes operaciones de multiplicación.
Cuando el ejercicio dice "el grupo $V_1\times V_2$", es para subrayar que la $\times$ no es un producto de grupos, así que cuando usted ve $V_1\times V_2$ sólo tiene una sola operación, a saber, el grupo de operación (que será el de la adición en el espacio vectorial usted va a construir).
Cuando se le pide que demostrar que $V_1\times V_2$ "es un espacio vectorial", es el uso descuidado del lenguaje. Lo que realmente significa es demostrar que el grupo de productos puede ser hecha en un espacio vectorial mediante la búsqueda de una adecuada multiplicación escalar $\mathbb R\times(V_1\times V_2)\to V_1\times V_2$ y mostrando que satisface las condiciones de un espacio vectorial. Es usted el rompecabezas de una multiplicación escalar que harán de este trabajo; no existe ya como parte del grupo de producto $V_1\times V_2$.
"Un espacio vectorial es un grupo abelian con algo más de estructura." Esto se deduce de los axiomas de un espacio vectorial. Hay ocho de ellos y los cuatro primeros queridos decir exactamente eso $V$ es un grupo abelian:
1-3 decir que $V$ es un grupo de 4 dice que es abelian. Ahora ¿qué pasa con el resto de los axiomas? Se trata de la multiplicación por escalares y son como sigue:
($1_\mathbb{K}$ es el elemento neutro multiplicativo del campo $\mathbb{K}$). Lo que hacen esos axiomas decir? Deje $End(V)$ ser el anillo de todos los endomorphisms de $V$ (es decir. todo el grupo homomorphisms de $V$ a $V$). La multiplicación en $End(V)$ es simplemente una composición de funciones y su elemento neutro es la función identidad $id_V$: $id_V(u)=u$. Ahora, ¿qué tiene que ver con los Axiomas 5-8? Ellos definen un homomorphism de $\mathbb{K}$ a $End(V)$! Cómo? Deje $\varphi:\mathbb{K}\to End(V)$ se define de la siguiente manera $\varphi(a)(u)=a\cdot u$ donde$a\in\mathbb{K}$$u\in V$. Para cada $a\in\mathbb{K}$ $\varphi(a)$ es una función de $V$ a $V$ - se necesita un elemento de $V$ y la multiplica por el escalar $a$. Axioma 5 decir que por cada $a\in\mathbb{K}$ $\varphi(a)$ es un endomorfismo de $V$ ($\varphi(a)\in End(V)$), es decir. $\varphi(a)$ es lineal. Axiomas 6-8 decir que $\varphi$ es un homomorphisms entre los anillos de $\mathbb{K}$ (cada campo es un anillo con identidad multiplicativa) y $End(V)$. Este homomorphism $\varphi$ es la estructura adicional que usted está preguntando acerca de.
En un espacio vectorial puede agregar vectores $v,w$ conseguir $v+w$, y uno de los axiomas es que $v+w = w+v$, por lo que la suma es conmutativa. Usted también tiene un vector cero $v+0=0+v=v$, por lo que existe una identidad de grupo, y el otro grupo de propiedades también tienen (inversa, asociatividad). Sin embargo, en un espacio vectorial también se puede multiplicar por un número real (y esta multiplicación tiene ciertas propiedades, como la distributividad, etc.) no tiene sentido si sólo pensó en el espacio vectorial como un grupo.
La definición de espacios vectoriales de esta manera es más rápido que la definición, a continuación, directamente, porque los espacios vectoriales tienen un montón de axiomas, muchos de los cuales se superponen con el grupo de axiomas. El producto de espacios vectoriales es un grupo, debido a que el producto de los grupos es un grupo. Así que ahora usted tiene un poco más de axiomas para verificar acerca de $V_1 \times V_2$ a demostrar que es un espacio vectorial, pero usted no necesita perder el tiempo probando la asociatividad o conmutatividad, que se derivan de la teoría de grupos.
Henning la respuesta es brillante. Pero sólo para usar algunas de fantasía idioma, un espacio vectorial es una de las más caso específico de un módulo, en la que el campo de escalares ha sido sustituido por un anillo de escalares. Tenga en cuenta que incluso un anillo es siempre un aditivo abelian grupo, independientemente de cómo la multiplicación se ve. Así que la naturaleza conmutativa de la adición es una especie de adaptarse en la construcción de un módulo de e, incluso, un espacio vectorial.
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