Demostrar $\bar{\mathbb{Q}}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

Question

Tome $\mathbb{R}$ en el estándar (orden) de la topología. Mostrar que el cierre de $\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$.

Soy nuevo en la topología, el auto-estudio utilizando el libro de Munkres. De hecho soy nuevo en pruebas. En el libro que él ha definido un conjunto cerrado, y la noción de un cierre de un conjunto. Aquí yo intento hacer esta prueba. Me resulta difícil no apelar a las cosas que parece "obvio" en el curso de una prueba (I bandera un par de estos puntos por debajo). Pero a veces "obvio" que las cosas son difíciles de probar, de hecho! ¿Cómo puedo mejorar mi prueba? Cómo podrías probar usando sólo relativamente hechos elementales?

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Consideremos algunos irracionales $x \in \mathbb{Q}'$. Por conveniencia, tome $x>0$. Pretendo demostrar que para cualquier $x$, no hay ningún barrio de $x$ que no se intersectan $\mathbb{Q}$, por lo que todas estas $x$ tiene que estar en el cierre de la pregunta, $\bar{\mathbb{Q}}$

Un mínimo conjunto abierto $U$ que contiene $x$$(r_1, r_2)$$r_1<x<r_2$$r_1,r_2\in \mathbb{R}$. Pero voy a demostrar que no importa lo que tomamos por $r_1$$r_2$, $$r_1<r_2 \iff \exists q \in \mathbb{Q}: r_1<q<r_2$$

Para empezar, tenga en cuenta $r_1 < r_2 \iff 0<r_2-r_1$.

Definamos $\Delta r \equiv r_2 - r_1$

Considere la posibilidad de $(\Delta r)^{-1}$ - podría ser grande si $\Delta r$ es pequeña, pero sin duda$^1$ $\exists z \in \mathbb{Z}_+:z>(\Delta r)^{-1}$ y esto implica que ${1 \over z}<\Delta r$. Por definición, ${1 \over z} \in \mathbb{Q}$.

El próximo considerar $m {1 \over z}$$m \in \mathbb{Z}$. Si tomamos $m=0$, $m {1\over z}<r_1$ (De otro modo se $r_1 < 0 < r_2,$$0 \in \mathbb{Q}$). También, si $m$ es lo suficientemente grande, entonces $m {1 \over z} > r_1$. Deje $M=\{0\} \cup \{m \in \mathbb{Z}_+:m {1 \over z}<r_1\}$. Claramente $M$ está delimitado por $zr_1$. Tome $n$ a ser el elemento más grande$^2$$M$. Desde $n \in M$, $n{1 \over z} < r_1$. También, $(n+1){1 \over z}>r_1$, ya que si no, $(n+1) \in M, (n+1)>n$, lo que contradice que el n es el elemento más grande en $M$.

Ahora $$n{1 \over z} < r_1 \wedge {1 \over z} < r_2 - r_1 \implica n{1\over z} + {1 \over z} < r_1 + (r_2 - r_1) \\ \implica (n+1){1 \over z} < r_2$$

Por lo tanto, tenemos que $$r_1 < {n+1 \over z} < r_2$$

Pero, por supuesto,${n + 1 \over z} \in \mathbb{Q}$, por lo que este barrio de $x$ intersecta $\mathbb{Q}$ no importa en qué intervalo de $(r_1, r_2)$ contiene $x$ tomamos, asumiendo $x$ es positivo e irracional. Esto significa que todos los barrios de positivos los números irracionales se cruzan $\mathbb{Q}$. Creo que el argumento negativo de los números irracionales iba a seguir el mismo camino, sin mucho diferentes. Esto llevaría a todos los barrios de positivos y negativos de los números irracionales intersección $\mathbb{Q}$, poniendo así en $\bar{\mathbb{Q}}$. Pero el conjunto de todas positivo o negativo irrationals además de todos los racionales es en sí $\mathbb{R}$, por lo que tenemos $\bar{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$.

¿Cómo lo hago?

$^1$ I no muestran que $\forall r \in \mathbb{R}: \exists q \in \mathbb{Z}_+:q>r$. Me resulta difícil de demostrar algo que parece tan evidente. Pero me gustaría ver que demostró una vez. ¿Cómo podemos hacer eso?

$^2$ I no muestran que $M$ tiene un elemento más grande, ¿cómo podría yo hacer eso?

Answer 1

Deje $x<y$. A continuación, elija $n$ tal que $\frac{1}{n} < y-x$. Ahora tenga en cuenta que debemos tener $\{\frac{m}{n}\}_m \cap (x,y) \neq \emptyset$. Por lo tanto, cualquier no-vacío conjunto abierto que contiene un racional.

Ahora considere el $\overline{Q}$, que está cerrado por definición. Por lo tanto $(\overline{Q})^C$ está abierto. Sin embargo, no puede contener, de forma racional, por lo que debe estar vacía.

Anexo: Para demostrar que $\{\frac{m}{n}\}_m \cap (x,y) \neq \emptyset$, tenga en cuenta que $\mathbb{R} = \cup_m [\frac{m}{n}, \frac{m+1}{n})$, y que la unión es distinto. De ahí que para algunos $m$,$[\frac{m}{n}, \frac{m+1}{n}) \cap (x,y) \neq\emptyset$. Si $\frac{m}{n} \in (x,y)$ hemos terminado, así que supongo $\frac{m}{n} \not\in (x,y)$. A continuación, debemos tener $\frac{m}{n} \leq x <\frac{m+1}{n}$ (de lo contrario no se superponen). Desde $\frac{1}{n} < y-x$,$\frac{m}{n} + \frac{1}{n} = \frac{m+1}{n} < y$$\frac{m+1}{n} \in (x,y)$.

Answer 2

Sería más fácil hacer esto. Pick $x,y$ reales. Suponga $x>y$, lo $x-y>0$. Arquímedes dice que no es $n$ tal que $n(x-y)=nx-ny>1$. Se puede encontrar un número entero entre el $nx$ y $ny$ ${}^{1}$? Observar que $nx-ny>1$, que es lo importante! Si es así, se puede encontrar un racional entre el$x$$y$? ¿Por qué digo que $\overline{ \Bbb Q}=\Bbb R$?

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$1$. Spoiler Considerar $m=\lfloor ny\rfloor+1$. Entonces, por definición

$$ny<m\leq ny+1<ny+nx-ny=nx$$

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DEF Deje $x$ ser un número real. Definimos $\langle x\rangle$ a ser el mayor elemento de $$S=\{m\in\Bbb Z:m\leqslant x\}$$

Este conjunto es no vacío por la propiedad de Arquímedes. En particular, se puede reducir a un conjunto finito eligiendo $m'$ tal que $m'<x-1$. A continuación,$m'\notin S$, y podemos ver el $$S=\{m\in\Bbb Z:m'< m\leqslant x\}$$

Este es un no-vacío conjunto finito de números enteros, por lo que admite un máximo (único) elemento.