Quería revisar algunos conceptos básicos de álgebra abstracta. Aquí hay un par de problemas por que yo estoy buscando la solución de verificación. Muchas gracias de antemano!
$\textbf{Problem:}$ Deje $H$ ser un subgrupo de $G$, y deje $X$ denota el conjunto de todas la izquierda cosets de $H$$G$. Para cada elemento $a \in G$, definir $\rho_{a}: X \rightarrow X$ como sigue: $$\rho_{a} (xH) = (ax) H.$$
- Demostrar que $\rho_{a}$ es una permutación de $X$ por cada $a \in G$.
- Demostrar que $h: G \rightarrow S_{X}$ definido por $h(a)=\rho_{a}$ es un homomorphism.
- Demostrar que el conjunto $\{a \in H : xax^{-1} \in H \> \forall x \in G\}$ es el núcleo de $h$.
$\textbf{Solution:}$
Elija cualquier $a \in G$. Primero mostramos que la $\rho_{a}$ es inyectiva. Así, supongamos $\rho_{a}(xH) = \rho_{a}(x'H).$ por lo tanto, $(ax)H = (ax')H$; necesitamos mostrar $ xH = x'H$. Deje $g \in xH$. A continuación, $g = xh_0$ $ag = (ax)h_0 = (ax')h_1$ por nuestra suposición. Multiplicando $ag = (ax')h_1$ a la izquierda por $a^{-1}$ nos da ese $g= x'h_1$. Por lo tanto, $g \in x'H$. Un argumento similar se nos da el reverso de la inclusión. Para demostrar la surjectivity de $\rho_{a}$, vamos a $xH \in X$. Desde $a^{-1}x \in G$,$\rho_{a} (a^{-1}x H) = (aa^{-1}x)H = xH$. De hecho, $\rho_{a}$ es surjective.
En primer lugar, mostramos $\rho_{ab} = \rho_{a} \circ \rho_{b}$. Deje $xH$ ser arbitraria de los elementos que pertenecen a $X$. Observar que $$\rho_{a} \circ \rho_{b} (xH) = \rho_{a}((bx)H) = (abx)H = \rho_{ab}(xH).$$ Thus, $$h(ab)=\rho_{ab}=\rho_{a} \circ \rho_{b} = h(a)h(b),$$ and we conclude that $h$ es un homomorphism.
- Deje $K$ denotar el núcleo de $h$. Mostramos $\{a \in H : xax^{-1} \in H \> \forall x \in G\} = K$. Para empezar, vamos a $k \in K$. A continuación, $h(k)=\rho_{k}=\rho_{e}$ donde $e$ es el elemento de identidad de $G$. Desde $\rho_{k}=\rho_{e}$, para cada una de las $xH \in X$ tenemos $(kx)H=xH.$ por lo tanto, $kxh_0 = xh_1$ algunos $h_0,h_1 \in H$ $x^{-1}kx=h_{1}h^{-1}_{0}.$ Esto implica $x^{-1}kx \in H$. Para mayor claridad, poner $x_0 = x^{-1}$. Por eso, $x^{-1}kx = x_{0}kx^{-1}_0 \in H$. De hecho, $k \in\{a \in H : xax^{-1} \in H \> \forall x \in G\}$. Para demostrar que la inversa de inclusión, esta vez vamos a $k \in \{a \in H : xax^{-1} \in H \> \forall x \in G\}.$, Entonces, debemos mostrar $(kx)H=xH$. Deje $g\in (kx)H$. Supongamos $g = kxh_0$$h_0 \in H$. Multiplicando a la derecha, por $x^{-1}$, obtenemos $x^{-1}g = x^{-1}kxh_0 = h_1$ algunos $h_1 \in H$. Multiplicando a la derecha, por $x$, realmente llegamos $g=xh_1 \in xH$. Por la inversa de la inclusión, la dejamos $g \in xH$, de modo que $g=xh_0$ algunos $h_0$. Entonces, $$kg=kxh_0$$ $$g^{-1}kg=g^{-1}kxh_{0}$$ $$ h_{1}=g^{-1}kxh_0$$ $$g=kxh_0h^{-1}_{1}.$$ The last line gives us that $g \en (kx)H$ as desired. $\blacksquare$
