Zeta funciones están siendo desarrollados para todo tipo de objetos matemáticos en estos días. Una situación general es la de zeta funciones de los grupos. Si $G$ es un finitely generado grupo, a continuación, nos vamos a
$$\zeta_G(s):=\sum_{H\le_{\Large f} G}[G:H]^{-s}=\sum_{n\ge1}a_n(G)\,n^{-s}\tag{1}$$ $$\text{where}\quad a_n(G):=\#\{H\le G: [G:H]=n\}. \tag{2}$$
Tenga en cuenta que $H\le_fG$ es de finito-índice de subgrupos $H$. Otras funciones zeta se obtienen mediante la restricción a ciertos tipos de subgrupos, como los normales, por ejemplo. Si $G$ es nilpotent entonces es un producto directo de Sylow $p$-subgrupos, que rinde un producto de Euler de la factorización para $\zeta_G(s)$. Esto permite que un puñado de ejemplos que explícitamente se calcula con la de Riemann zeta función; por ejemplo:
$$\zeta_{\Bbb Z^d}(s)=\zeta(s)\zeta(s-1)\cdots\zeta(s-d+1);\tag{3}$$ $$\zeta_{H_{\large3}(\Bbb Z)}(s)=\frac{\zeta(s)\zeta(s-1)\zeta(2s-2)\zeta(2s-3)}{\zeta(3s-3)},\tag{4}$$
donde $H_3(\Bbb Z)$ es el discreto grupo de Heisenberg. Ver $p$-ádico de la integración y de la teoría de grupos (.ps) o apuesto a que también sería en algún lugar en las Conferencias sobre el Profinite Temas en el Grupo de Teoría de la's Capítulo $\rm III$.
El profesor B. Sury señala el curioso parecido con un conocido de la identidad de Ramanujan:
$$\sum_{n\ge1}\frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.\tag{5}$$
Podemos ver $(5)$ como la zeta funciones asociadas de forma "natural" de la familia de los grupos indexados por $a,b\in\Bbb N$?
