¿Existe una biyectiva función $\phi$ de la unidad intervalo $[0,1]$ al Cantor set $C$? Si es así, ¿cómo se puede construir? Podría proceder a construir un espacio de medida ($C$, $\mathcal{M}_\phi$, $m_\phi$) donde $m_\phi(E)$ = $m(\phi^{-1}(E))$ $E \subset C$. ¿Cómo sería $m_\phi(C) = 1$?
Respuestas
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Nos fijamos sólo en el menos interesante de la cuestión, la de encontrar una explícita bijection de $[0,1]$ para el conjunto de Cantor $C$.
Sin duda Cantor-Bernstein-Schroeder es perfectamente constructivo, y puede ser utilizado para dar forma explícita, aunque desordenado, bijection.
Pero el "cerca de la bijection" descrito por @mixedmath pueden ser ajustados para producir una explícita bijection.
Para cualquier número real $x$$[0,1]$, vamos a la representación canónica de $x$ se define de la siguiente manera. Si $x$ no es un diádica racional (es decir, si $x$ no tiene una eventual constante representación binaria), la representación canónica de $x$ es el ordinario de la representación binaria. Si $x\ne 1$, e $x$ es un diádica racional, la representación canónica de $x$ es la que es, finalmente, $0$'s. Por último, la representación canónica de $1$ es la representación con todas las $1$'s.
Ahora vamos a definir el bijection. Si $x$ no es un diádica racional, mapa de $x$ $y$ cuyo ternario representación sustituye a la $1$'s en la representación binaria de $x$ $2$'s, y sale de la $0$'s sin cambios.
Supongamos ahora que $x$ es un diádica racional. Escriba su representación canónica.
Deje $x$ ser un diádica racional cuya representación canónica comienza con $0$. Quitar el $0$, mover el resto de los bits uno a la izquierda. A continuación, reemplace el $1$'s $2$'s. Llame al número que tiene esta representación ternaria $y$, y el mapa de $x$$y$.
Deje $x$ ser un diádica racional cuya representación canónica comienza con $1$. Representan en la "no-terminación de la forma", es decir, después de un cierto punto, todos los $1$'s. Quitar la inicial $1$, se mueven todos los bits a la izquierda. A continuación, reemplace el $1$'s $2$'s. Llame al número que tiene esta representación ternaria $y$, y el mapa de $x$$y$.
Gudmundur Orn
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Pasa a ser una muy simple casi bijection entre los dos. En resumen, considerar el binario decimal representación de todos los números en $[0,1]$ y considerar el ternario representación de todos los elementos del Conjunto de Cantor. Dado que el Conjunto de Cantor puede ser alcanzado por la extracción del tercio medio en repetidas ocasiones, los elementos del Conjunto de Cantor son exactamente aquellos cuya ternario representaciones tienen sólo 0s y 2s.
A continuación, un número como $0.202202...$ en el conjunto de Cantor podría estar asociada con el número de $0.101101...$$[0,1]$. Por lo que la función es simplemente envíe $c \to (\frac{c}{2})$, teniendo en cuenta el evidente cambio de base de curso.
Hay un problema con la doble representación, como ha señalado P. Yuan. Es decir, tanto en $0.0222...$ $0.2$ (ternario) se envían a $0.1$ (en binario). Pero tal vez no es un trabajo rápido-alrededor de aquí.
Sin embargo, esto no se completa la segunda mitad de su pregunta. Y, además, este no es el menos continua.
