Demostrar que cualquier solución de la segunda ecuación diferencial de orden atmost un número contable de ceros $?$

Question

Pregunta :

Considerado el segundo orden de la ecuación diferencial $y''(t) + a(t) y'(t) + b(t) y(t) = 0$. entonces cualquier solución de segundo orden de la ecuación diferencial tiene atmost una contables número de ceros en $[a , b]$ .

He intentado

Deje $S$ el conjunto de ceros de $y(t)$. Si $S$ es finito entonces nada que demostrar.

Si $S$ es infinito . Puedo demostrar fácilmente que cada cero de $y(t)$ es aislado ceros. Desde $[a ,b]$ es cerrado y acotado y $S$ es un conjunto ordenado . Por lo que podemos mínimo elemento de $S$ dice $t_1$$t_1 \in S $, existe una $\delta_{t_1}$ tal que $( t_1 - \delta_{t_1} , t_1 + \delta_{t_1})$ que $y(t)$ no tiene ceros otros de $t_1$

Deje $ t_2$ es el mínimo de $S-\{t_1\}$$y(t)$ . Así, por $t_2 \in S $, existe una $\delta_{t_2}$ tal que $( t_2 - \delta_{t_2} , t_2 + \delta_{t_2})$ que $y(t)$ no tiene ceros otros de $t_2$$( t_2 - \delta_{t_2} , t_2 + \delta_{t_2}) \cap( t_2 - \delta_{t_2} , t_2 + \delta_{t_2}) = \phi$. Del mismo modo se puede proceder.

Así, podemos relacionar para cada $t \in S$ no es un número racional $ q_t $ que pertenece a $( t - \delta , t + \delta)$ y el número racional es contable.

Por lo $S$ es contable.

Por favor revise mi soution, i thich cualquier corrección es necesaria, por favor dígame. Gracias.

Answer 1

Si puede probar que $S$ es discreta, haya terminado, ya que cualquier conjunto discreto es contable. Prueba: $S=\cup_{n=1}^\infty S\cap[-n,n]$, y $S\cap[-n,n]$ es finito.

Answer 2

Estoy demostrando que todo cero no trivial de la solución de $y(t)$ de la ecuación diferencial $y''(t) +a(t)y(t) + b(t) y(t) = 0$ definido en $[a,b]$ es aislado

Solución : Vamos a $t_o$ ser cualquier cero de $y(t)$. si $y'(t_o) = 0$, y nos han dado de que el $y(t_o) = 0$

El uso de este resultado, si f(t) es la solución de la ecuación diferencial $a_n(t)y^n(t) + a_{n-1}(t) y^{n-1}(t) +......+a_1(t) y(t) = $0 tal que $f(t_o) = f^1(t_o) = .......= f^{n-1}(t_o) = 0$ algunos $t_o \in [a,b]$. A continuación, $f(t) = 0 $ todos los $t \in [a,b]$, obtenemos

$y(t) = 0$ todos los $t \in [a,b]$ lo cual es una contradicción

si $y'(t_o) > 0$, entonces no es un barrio de $t_o$ dice $(t_o -\delta , t_o + \delta)$ tal que $y(t) > y(t_o)$ si $t \in (t_o , t_o + \delta)$ $ y(t) < y(t_o)$ si $ t \in (t_o - \delta , t_o)$ .

Por lo tanto $y(t) \neq o$ todos los $t \in (t_o -\delta , t_o + \delta)$ con la excepción de $t_o$

Por lo tanto $t_o$ es aislado cero de $y(t)$

Del mismo modo, podemos demostrar que si $y'(t_o) < 0$