¿Cómo ver que el cambio $x \mapsto (x-c)$ es un automorfismo de $R[x]$?

Question

En el proceso de estudio de irreductibilidad de polinomios, me encontré con el criterio de que $p(x)$ es irreducible si y sólo si $p(x-c)$ es irreductible. Cuando se trata de determinar cuáles son las propiedades del anillo fueron preservados en virtud de este mapa de $x \mapsto (x-c)$, que aparece a veces se llama el cambio de isomorfismo, he leído que fue un isomorfismo del polinomio anillo de $R[x]$, pero mis intentos para demostrar que el hecho de que sólo me llevó a través de algunos de los difíciles cálculos, en la cual yo en general no.

Entonces, ¿cómo hace uno para demostrar que el mapa es un isomorfismo de $R[x]$? Es un isomorfismo para todos los anillos de $R$ y para cualquier número de variables?

Es sólo un caso particular de un fenómeno más general?

Answer 1

Hmmm... ¿directamente? %#% $ $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\,,\,g(x)=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\,\in R[x]$ #%. Desde %#% $ de #% obtenemos que, denotando el mapa $\,\,a_n=b_n=0 \,\,\text{ for all but a finite number of indices}$, tenemos $ de $$f(x)+g(x)=\sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)x^n\,\,,\,f(x)g(x)=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\right)x^n$ $\,\phi(x):=x-c\,$ $

Recuerde: todos los anteriores son de hecho finito suma, así que nuevamente les podemos arreglar como deseemos. Además, $$\phi(f+g)=\sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)(x-c)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n+\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n=\phi(f)+\phi(g)$, en particular $$\phi(fg)=\sum_{n=0}^\infty\left( \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}\right)(x-c)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\sum_{n=0}^\infty b_n(x-c)^n=\phi(f)\phi(g)$.

Answer 2

Como Lubin señaló en un comentario anterior, la primera cosa a comprobar es que el mapa que envía a $p(x)$ $p(x-c)$es de hecho un anillo homomorphism. Para ello, contamos con la siguiente herramienta:

Teorema: Vamos a $R$ ser un anillo conmutativo. El polinomio anillo de $R[X]$ satisface las siguientes universal de la propiedad: dado un anillo conmutativo $A$ contiene $R$ y un elemento $a$$A$, hay un anillo único homomorphism $$\phi:R[X] \to A$$ such that $\phi(X)=a$.

(Tenga en cuenta que existe una versión similar para el polinomio anillo en un número finito de variables). Por lo tanto, por esta característica universal no existe un único anillo homomorphism que envía a$X$$X-c$, para cualquier $c\in R$. Y como azarel se señaló anteriormente, esto es, de hecho, un anillo de isomorfismo, ya que usted tiene un inverso (es decir, $X\mapsto X+c$).

Answer 3

Consejo: El mapa $x\to x+c$ es su inversa.