¿Cuando tiene un subgrupo H de un grupo G complemento en G?

Question

Vamos a ser H un subgrupo de G. (podemos suponer G finito si sirve de ayuda.) Un complemento de H en G es un subgrupo K de G tal que HK = G |H∩K|=1. De manera equivalente, un complemento es una transversal de H (un conjunto que contiene un representante de cada coset de H) que pasa a ser un grupo.

Contrario a mi inicial expectativas ingenuas, no es ni necesario ni suficiente que uno de H y K sea normal. Corrí a través de ambos de los siguientes contraejemplos en Dummit y Foote:

• No es necesario que H o K ser normal. Un ejemplo es S₄ , que puede ser escrito como el producto de H=⟨(1234), (12)(34)⟩≅D₈ y K=⟨(123)⟩≅ℤ₃, ninguno de los cuales es normal en S₄.

• No es suficiente que uno de los H o K ser normal. Un ejemplo es Q₈ que tiene normalmente un subgrupo isomorfo a Z₄ (generada por el yo, por ejemplo), pero que no puede ser escrito como el producto de ese subgrupo y un subgrupo de orden 2.

Hay afirmaciones generales acerca de cuando un subgrupo tiene un complemento? La página de la Wikipedia, no tiene mucho que decir. En la práctica, hay muchas situaciones en las que uno quiere trabajar con una transversal de un subgrupo, y es lindo cuando uno puede encontrar una transversal que es también un grupo. En su defecto, se puede solicitar el menor subgrupo de G que contiene un transversales de H.

Answer 1

Una respuesta parcial a esta pregunta es conocido como el Schur-Zassenhaus lexema (o teorema). Si N es un subgrupo normal de un grupo finito G, cuyo fin es primo con su índice (un subgrupo se le llama (normal) Sala subgrupo de G), entonces N tiene un complemento en G.

Compruebe la página de la Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Schur-Zassenhaus_theorem. Yo también creo que Rotman de la cobertura de este en su " Introducción a la Teoría de Grupos es muy buena; el capítulo sobre el grupo cohomology IIRC.

Answer 2

Esto no acaba de responder a su pregunta, sino que responde a la pregunta en la dirección opuesta. Por lo tanto, mientras que no se puede decir precisamente lo que los subgrupos han complementa, me pueden dar las condiciones que la complementa debe satisfacer.

Para presentar un grupo $G = KH$ con $H \cap K = 1$ es equivalente a la siguiente:

• Mapas de $\lambda_K : H \times K \K$ y $\rho_H: H \times K \H$.
• tal que $\lambda_K$ es un grupo de la izquierda de la acción de $H$ en el conjunto de $K$ y $\rho_H$ es un grupo de la derecha de la acción de $K$ en el conjunto $H$. Por otra parte, cada acción corrige el elemento de identidad de los del otro grupo.
• y estos mapas están obligados a cumplir dos coherencia condiciones: $$ \lambda_K ( h, k_1 k_2 ) = \lambda_K( h, k_1 ) \cdot \lambda_K( \rho_H( h, k_1), k_2 ) $$ $$ \rho_H ( h_1 h_2, k ) = \rho_H (h_1, \lambda_K( h_2, k) ) \cdot \rho_H( h_2, k) $$ donde $\cdot$ es el grupo de operación en $K$ en la primera línea y en $H$ en la segunda línea.

Para demostrar que este tipo de datos es equivalente, en una dirección observar que la factorización de $G = KH$ define para cada $g$ un par, así que $\lambda(h,k), \rho(h,k)$ los elementos únicos en $K,H$ tal que $\lambda(h,k)\cdot \rho(h,k) = hk$ como elementos de $G$, y comprobar que estos mapas satisfacer los anteriores axiomas. En la otra dirección, la estructura de grupo en la $K\times H$ es $$ (k_1,h_1) \cdot (k_2, h_2) = (k_1 \cdot \lambda_K(h_1,k_2), \rho_H(h_1,k_2) \cdot k_2) $$

(Hm, me parece que han cambiado el orden de los $K,H$ de su pregunta. Oh, bien.)

En cualquier caso, si uno de los mapas que $\lambda \rho$ es trivial, entonces la coherencia de las condiciones de afirmar que la otra acción es por el grupo automoprhisms, y $G$ es el semidirect producto. De manera más general, la construcción es debido a Zappa-Szep, y es a veces llamado el tejer del producto o de doble cruz de producto, generalmente por escrito $G = K \bowtie H$. Los grupos de esta forma se llaman factorizados.

Answer 3

Dado $H \subseteq G$, hay una serie de condiciones suficientes para garantizar que existe un complemento de $ $normal por $ $G. Uno de los más interesantes de estos obedece a Frobenius: asumir que \cap $H H ^ g = 1$ para todos elementos $g \in G - H$. Entonces $H$ tiene un complemento normal en $ $G. Todavía, no es conocida prueba que no utilizan caracteres.

Answer 4

Permítanme mencionar una condición. Supongamos que el finito grupo $G$ tiene un abelian Sylow $p$-subgrupo de $P$ por algunos de los mejores $p$. A continuación, Burnside de Transferencia del Teorema dice que $P$ tiene un complemento normal de $G$ si y sólo si $P$ es en el centro de su normalizador en $G$; es decir, $P \le Z(N_G(P))$.

Esto proporciona a menudo la forma más rápida de mostrar que los grupos de un orden específico no puede ser simple. Por ejemplo, si $|G|=56$, entonces $G$ 1 o 8 Sylow $7$-subgrupos. En el primer caso, el único Sylow $7$-subgrupo es normal en $G$, mientras que en el segundo caso, un Sylow $7$-subgrupo de $P$ es abelian y auto-normalización de $G$, y por lo tanto tiene un complemento normal de orden 8. En cualquiera de los casos $G$ no es simple. Existen formas alternativas para probar esto sin el uso de BTT, pero se vuelve más y más indispensable, ya que el orden del grupo aumenta.

Por supuesto $P$ podría tener un no-complemento normal de $G$, incluso cuando la condición de falla. Por ejemplo, en $A_5$ a Sylow 5-subgrupo tiene el complemento de $A_4$.

En un número finito de solucionable grupo $G$, por la teoría de la Sala de subgrupos, cualquier subgrupo de $H$ (no necesariamente normal) tales que $|H|$ es coprime $|G:H|$ tiene un único conjugacy clase de complementos de $G$.

Answer 5

Si $H$ es normal, entonces hay un conocido libro de texto de respuesta. $H$ tiene un complemento, si y sólo si $G$ es un semidirect producto de $H$ y su complemento. El complemento es isomorfo al cociente $G/H$, y si no sabe si es que la hay, se puede hacer una extensión de cálculo para ver si existe. Por ejemplo, si la extensión es central, entonces la pregunta es si la 2-cocycle de la extensión es nulo homóloga en $H^2(G/H,H)$.

Cuando $H$ no es normal, una vez me di cuenta de que el isomorfismo tipo de complemento no es única. $S_3 \subconjunto S_4$ se complementa tanto por el grupo cíclico de $C_4$ y por el grupo de Klein $C_2 \times C_2$, ya que ambos actúan libremente transitivamente en cuatro puntos.

Parece razonable, en general, para pensar en un complemento de la no-normal subgrupo como libremente transitiva subgrupo de un grupo de acción. Esto produce un conversar respuesta de "cuando" sucede. En particular, cada grupo finito de $K$ surge exactamente una vez como un complemento de $S_{n-1} \subconjunto S_n$, es decir $n = |K|$.

A veces se puede usar la topología de saber que no hay una libremente acción transitiva. Por ejemplo, $\mathrm {} (n-1) \subconjunto \mathrm {} (n)$ no tiene uno cuando $n=3$ o $n \ge 5$, porque de lo contrario no es ninguna Mentira grupo con la topología de su cociente. No conozco muy bien las obstrucciones en el grupo finito de casos, pero apuesto a que hay algunos.

Thurston (y estoy seguro que otros) ha comentado que $\mathrm{SO(3)} \subconjunto \mathrm{Isom}(\mathbb{H}^3)$ tiene un complemento. Es el homothety grupo el avión, se dio cuenta de como el estabilizador de la concéntricos horospheres.