¿Por qué es importante la diferenciabilidad continua?

Question

En el cálculo, yo supondría que la noción de continuo La diferenciabilidad es importante, por lo que tenemos clases $C^1, C^2,\ldots,C^n$ que se definen en términos de tener un continuo $n$ derivado. Pero, ¿por qué? ¿Por qué es relevante que la derivada sea continua?

¿Cuál es la motivación para definir $C^n$ en términos de no ser simplemente $n$ veces diferenciable, pero $n$ tiempos continuamente diferenciables? ¿Para qué teoremas (importantes) del cálculo monovariable y multivariable es absolutamente necesaria la hipótesis de diferenciabilidad continua?

No es necesaria ni para el teorema fundamental del cálculo ni para la integración por sustitución, aunque a menudo se presenta como tal.

Answer 1

Para las funciones reales, la diferencia entre $C^n$ y $n$ -tiempo-diferenciable es bastante escaso: véase, por ejemplo, Teorema de diferenciación de Lebesgue o Teorema de Darboux . Podemos demostrar la fórmula de Taylor en ambos contextos, pero la estrategia es un poco diferente: utilizar Teorema de l'Hopital para $n$ -funciones diferenciables o simplemente la integración por partes repetida para $C^n$ funciones (que es más fácil).
La continuidad de una derivada juega un papel importante en la teorema de la función implícita pero si el destino de las funciones que estamos manipulando es ponerse bajo un signo integral, podemos descuidar esencialmente esa sutileza : si $f$ es una función diferenciable y $f'$ es un derivado débil de $f$ , $$ f(0)+\int_{0}^{x}f'\,d\mu $$ es una versión regularizada de $f(x)$ que es igual a $f(x)$ casi en todas partes.

Answer 2

Para su uso posterior, defina la función $$ \phi(x) = \begin{cases} x^{2} \sin(1/x^{2}) & x \neq 0, \\ 0 & x = 0, \end{cases} $$ que es diferenciable en toda la línea, pero $\phi'$  no tiene límites en cada vecindad de  $0$ (y, en particular, es discontinua en  $0$ ).

• El $x$ -El eje es tangente a la gráfica $y = \phi(x)$ en el origen. Sin embargo, cerca del origen existen líneas que son tangentes a la misma gráfica, pero arbitrariamente cerca de la vertical (es decir, con una pendiente positiva o negativa arbitrariamente grande). Eso no es exactamente una violación de un teorema, pero sí viola las expectativas ingenuas. (Por el contrario, si $f$  es de la clase  $C^{1}$ entonces "los puntos cercanos tienen líneas tangentes cercanas").

• Dejemos que $f$ sea una función diferenciable de valor real en algún intervalo abierto que contenga $[a, b]$ . Trabajando con la integral de Riemann, la conclusión del segundo teorema fundamental $$ \int_{a}^{b} f'(x)\, dx = f(b) - f(a) \tag{1} $$ no es automático, porque $f'$  puede no ser integrable de Riemann. (Por ejemplo, tomemos $f = \phi$ y $a < 0 < b$ .) Sin embargo, la ecuación (1) se cumple si $f$  es de la clase  $C^{1}$ .

• Si $M > 0$ es arbitraria, la función $f(x) = \phi(x) + Mx$ es diferenciable y satisface $f'(0) = M$ pero no hay ningún intervalo sobre  $0$ en el que $f' > 0$ y por lo tanto (por el Teorema del Valor Medio) ningún intervalo sobre  $0$ en el que $f$  aumenta. Este tipo de fenómeno no se produce para $C^{1}$  funciones.

• Del mismo modo, con $f$  como en el punto anterior, la función $F(x) = \int_{0}^{x} f(t)\, dt$ es dos veces diferenciable en todas partes, pero no es de la clase  $C^{2}$ . Aunque $F''(0) = M > 0$ no hay ninguna vecindad de  $0$ en el que $F$  es convexo.

Esto muestra una muestra de "hechos de cálculo bien conocidos" que se mantienen para las funciones continuamente diferenciables  $f$ pero que se estropean cuando la primera (o segunda) derivada es discontinua en un punto. De hecho, existen funciones diferenciables cuya derivada es (por ejemplo) discontinua en un conjunto de medida completa de Lebesgue. Véase la épica respuesta de David Renfro a la pregunta de Chris Janjigian ¿Cómo de discontinua puede ser una derivada? para más detalles.

Answer 3

Una razón $C^1$ es importante es su practicidad. En concreto, existe un teorema según el cual si $f$ es $C^1$ en un conjunto abierto $U$ entonces $f$ es diferenciable en todos los puntos de $U$ . Suele ser bastante fácil de comprobar $C^1$ a menudo simplemente se mira la forma de las funciones de coordenadas de $C^1$ y observas, por tus conocimientos de cálculo elemental, que son diferenciables y sus derivadas son continuas. Y una vez que has completado esa comprobación, voilá, concluyes que $f$ es diferenciable.

$C^2$ también es práctico, a saber, a través del teorema de la igualdad de las segundas parciales mixtas (y, análogamente, $C^n$ implica la igualdad de los mixtos $n$ parciales).