Intuitiva base de Mobius inversión?

Question

Si se nos ha dado $f(n)= \sum_{d|n}g\left(\frac{n}{d}\right),n \in \mathbb{N},$ luego de inversión de Möbius da $$g(n)=\sum_{d|n}\mu \left( d\right) f \left( \frac{n}{d}\right).$$ Además, la generalización de Möbius de la inversión de la fórmula de los estados que lo anterior es correcto para $n \in \mathbb{R}$ si cambiamos $d|n \to1\le d\le n$.

Estoy familiarizado con el estándar de prueba de la vainilla y generalizada de la inversión de las fórmulas, pero depende de la ciega manipulación algebraica de Dirichlet convolución (y generalizado de la convolución entre la aritmética y la no-funciones aritméticas), que me parece insatisfactoria.

Es allí una manera más intuitiva de ver el generalizadas/ungeneralised) de Möbius de la inversión de la fórmula, tal vez con el conocimiento obtenido a partir de la más avanzada teoría?

Answer 1

El mejor enfoque sería para el cálculo de la cyclotomic polinomio para $\Phi_n(X)$ por intentar factorizar $X^n-1$, mediante la inclusión-exclusión. Usted desea conseguir el asimiento de un polinomio con coeficientes enteros satisfecho por, digamos, 30 de raíces de la unidad, que no son las raíces de la unidad de orden inferior (es decir, que son primitivas). Entonces tiene que ser un factor de $X^{30}-1$. Tenemos que quitar el 15 de raíces de la unidad: Para dividir a cabo por $X^{15}-1$. Pero $-1$ es todavía un indeseable de la raíz. Se divide por $X+1$ y continuar. Va a volver a descubrir este principio.