Estoy tratando de entender un contra-ejemplo que muestra que el cuadro de la topología y de la topología producto no son iguales. Aquí está:
Deje $\tau$ $\tau'$ ser el producto y la caja de topologías, respectivamente. Deje $X_i = \mathbb{R}\ \forall i$ y deje $U_i = (-1,1)\ \forall i$. A continuación, $U:= \prod_{i=1}^{\infty}U_i$ $U \in \tau'$ pero $U \notin \tau$.
No entiendo por qué la $U \notin \tau$.
Cualquier visión se agradece!
Las otras respuestas han cubierto esta de una manera, pero pensé que sería mejor hacer explícito.
El cuadro de la topología en $\Pi_i X_i$ es la topología generada por la base de abrir los conjuntos de la forma $\Pi_i U_i$ donde $U_i\subset X_i$ está abierto para todas las $i$.
El producto de la topología en $\Pi_iX_i$ es la topología generada por la base de abrir los conjuntos de la forma $\Pi_i U_i$ donde $U_i\subset X_i$ está abierto para todas las $i$ e donde: $U_i=X_i$ para todos, pero un número finito de $i$.
¿Por qué se define el producto de la topología en esta extraña manera, en lugar de utilizar la más natural aparente cuadro de topología? La razón es que queremos que la continua mapas de $Y\to\Pi_i X_i$ a ser, precisamente, los mapas de $f=(f_i\colon Y\to X_i)$ de manera tal que cada componente $f_i$ es continua. Ahora en el cuadro de topología, podemos tener un colllection de continuo mapas de $f_i\colon Y\to X_i$ tal que $f_i$ es continua para cada una de las $i$, pero el mapa $$ f=(f_i)_i\colon Y\a\Pi_iX_i $$ no es continua. Por ejemplo, supongamos $f$ ser la 'identidad' mapa de $\Pi_iX_i$ con el producto de la topología de a $\Pi_iX_i$ con el cuadro de la topología. Hay conjuntos que están abiertos en el cuadro de la topología de que no está abierto en la topología producto, por lo que este mapa no es continua. Pero cada componente del mapa $f$ es la proyección sobre uno de los factores, por lo que es continua.
Viendo su ejemplo, podemos definir una función de $f$ $\mathbb R$ $\Pi_{i=1}^\infty \mathbb R$mediante el establecimiento $f(x)=(x, 2x, 3x, \dots)$. Si queremos dotar a $\Pi_{i=1}^\infty\mathbb R$ con el cuadro de la topología, a continuación, este mapa es no continua, a pesar de que cada factor de $x\mapsto x,x\mapsto 2x,x\mapsto 3x,\dots$ es un mapa continuo.
¿Por qué no es continua? Bueno, como dijo en su pregunta, $\Pi_{i=1}^\infty (-1,1)$ es un conjunto abierto en $\Pi_{i=1}^\infty$ en el cuadro de topología. Pero la preimagen de este conjunto en$f$$\{0\}$, ya que para cualquier $x\ne 0$, habrá algunos $n$ tal que $nx\not\in(-1,1)$.
Ahora, si nos había dotado $\Pi_{i=1}^\infty\mathbb R$ con el producto de la topología de lugar, que no se han topado con este problema, ya que $\Pi_{i=1}^\infty(-1,1)$ no es abierto en la topología producto. De hecho, el mapa de $f$ es continua en el producto de la topología.
¿Por qué es eso? Basta comprobar que la preimagen de cualquier subconjunto abierto es abierto. Deje $U=\Pi_{i=1}^\infty U_i$ ser abierta en $\Pi_{i=1}^\infty \mathbb R$. A continuación, $U_i=\mathbb R$ para todos, pero un número finito de $i$, por lo que hay algunos $N$ tal que $U_i=\mathbb R$ todos los $n> N$. Por consiguiente, se puede escribir
$$ U=\Pi_{i=1}^N U_i\times\Pi_{i=N+1}^\infty\mathbb R $$
La preimagen de este conjunto en $f$ es sólo el conjunto de todos los $x\in\mathbb R$ tal que $x\in U_1, 2x\in U_2, \dots, Nx\in U_N$. Esto puede ser escrito como la intersección de un número finito de abiertos, por lo que está abierto.
Para concluir, aunque la definición de la topología producto es (ligeramente) más complicada que la de la caja de la topología, la usamos con más frecuencia porque es mucho mejor educados. Por ejemplo, podemos demostrar que el producto de espacios compactos, dotado de la topología producto - es compacto, mientras que el mismo no es cierto si nos dotan al producto con el cuadro de la topología.
Aquí hay una manera. Considerar el elemento $x $ $x_i=0$ todos los $i $. El producto de la topología de la pointwise convergencia. Así que si definimos $x^k $ por $$ x^k_i=\begin {cases} 0,&\ i\leq k\\ i,&\ i>k\end {casos} $$ we have that $x^k\a x $.
Si $U$ estaban abiertas, para $k $ lo suficientemente grande tendríamos $x^k\in U $, que no es el caso. Por lo $U $ no está abierto.
(Esta respuesta es similar como el de Martin, pero yo cargo de todos modos.)
Puede ser esclarecedor considerar un ejemplo claro de una secuencia converge para una de las topologías, pero no para el otro.
Deje $e_n$ ser la norma del vector en $\mathbf R^\infty=\mathbf R^{\mathbf N}$ definido por $$ e_n=(0,\ldots,0,1,0,\ldots) $$ donde la coordenada igual a $1$ $n$- th. La secuencia de $\{e_n\}_{n\in\mathbf N}$ no convergen en el cuadro de topología. De hecho, si $x\in \mathbf R^\infty$ y el $\varepsilon$-cuadro alrededor de $x$ $$ x+\prod_{i\in\mathbf N}-\varepsilon,\varepsilon) $$ contiene una infinidad de elementos de la secuencia $\{e_n\}$, entonces se debe ela contener, al menos, $2$ elementos de la secuencia. De ello se desprende que para todos los $i\in\mathbf N$, hay un $e_n$ en el abierto de $\varepsilon$-cuadro alrededor de $x$,$n\neq i$, y uno tiene $$ |x_i-0|\lt\varepsilon, $$ para todos los $\varepsilon>0$. De ello se desprende que $x=0$. Pero ahora, no abra $\tfrac12$-cuadro alrededor del origen contiene ningún elemento de la secuencia $\{e_n\}$. Esto demuestra que la secuencia de $\{e_n\}$ no convergen en el cuadro de topología.
Sin embargo, con respecto a la topología producto, la secuencia converge al origen! De hecho, los subconjuntos $$ U_j(\varepsilon)=\prod_{i=0}^j(-\varepsilon,\varepsilon)\times\prod_{i=j+1}^\infty\mathbf R $$ constituir una base para la topología producto barrios de origen. Está claro que $e_n\in U_j(\varepsilon)$ todos los $n\geq j+1$, y que la declaración se aplica a todos los $j\in\mathbf N$, y para todos los $\varepsilon>0$. Esto demuestra que, en efecto, $e_n\rightarrow 0$ con respecto a la topología producto.
Es aún más divertido si se considera el subespacio $\mathbf R^{(\mathbf N)}$ de todos los $\infty$-tuplas $(x_i)_{i\in\mathbf N}$ para los que sólo un número finito de $x_i$ son cero. El inducido topologías volverá a ser llamado el cuadro de la topología y de la topología producto. Por supuesto, la secuencia $\{e_n\}$ está contenido en $\mathbf R^{(\mathbf N)}$. Ya que no convergen para el cuadro de la topología en $\mathbf R^{\mathbf N}$, no puede converger para la inducida por el cuadro de la topología en $\mathbf R^{(\mathbf N)}$. Del mismo modo, ya que la secuencia de $\{e_n\}$ converge al origen con respecto a la topología producto en $\mathbf R^{\mathbf N}$, también converge al origen con respecto a la inducida por el producto de la topología en $\mathbf R^{(\mathbf N)}$. Esto me parece especialmente llamativo, ya que en $\mathbf R^{(\mathbf N)}$ uno tiene la infinita esfera $$ S^\infty=\left\{(x_i)\mid\sum_{i=0}^\infty x_i^2=1\right\}, $$ que es un subconjunto definido de $\mathbf R^{(\mathbf N)}$, el aumento de la unión de todos finito-dimensional esferas $S^n$. La secuencia de $\{e_n\}$ está contenido en $S^\infty$ y converge al origen $0$, que no pertenecen a $S^\infty$ de curso! La explicación es simplemente que $S^\infty$ no es cerrado con respecto a la topología producto, pero aún así.
Deje $X=\prod_i X_i$ ser un producto de espacios topológicos. El producto de la topología en $X$ se define como el más áspero de la topología (es decir, el menos abierto subconjuntos) de tal manera que cada mapa de proyección $\pi_i\colon X\to X_i$ es continua. Esta definición tiene sentido, ya que la intersección de cualquier número de topologías es de nuevo una topología.
En tu ejemplo, suponga que el producto de la topología $\tau$ $X$ contiene $U$. Entonces la topología generada por el conjunto de $\tau-U$ todavía hacer todas las $\pi_i$ continuo, una contradicción con el hecho de que $\tau$ se suponía iba a ser el más áspero.
Que los conjuntos son abiertos en el producto de la topología? Puesto que el $\pi_i$ se supone debe ser continuo, encontramos que para cada una de las $i_0$ y cada conjunto abierto $U_{i_0}$$X_{i_0}$, la $U_{i_0}\times \prod_{i\neq i_0}X_i$ está abierto en $X$ (estoy siendo liberal en el orden del producto, usted debe imaginar $U_{i_0}$ ser puesto en el lugar correcto). Por lo tanto el producto de la topología contiene la topología generada por los conjuntos de la forma $U_{i_0}\times \prod_{i\neq i_0}X_i$. Desde esta topología también hace que el $\pi_i$ continuo, es igual al producto de la topología.
Por lo tanto vemos que los bloques abiertos de la topología producto son los conjuntos de la forma$\prod_{j=0}^{k}U_{i_j} \times \prod_{i\neq i_j} X_i$, $U_{i_j}$ abierta en $X_{i_j}$. En particular, en su conjunto $U$ es no abrir si el producto es tomado infinidad de $X_i$.
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