Hay dos grupos que son categóricamente Morita equivalente pero sólo uno de los cuales es simple

Question

Se puede encontrar dos grupos finitos G y H tales que sus categorías de representación son Morita equivalente (es decir, que hay una invertible bimodule categoría, durante estos dos monoidal categorías), pero donde G es simple y H es no. El estándar de referencia para el módulo de categorías y nociones relacionadas con es este papel de Ostrik del

Esto es mucho más fuerte de la condición de decir que C[G] y C[H] son Morita equivalente como anillos (donde C[A_7] y C[Z/9Z] da un ejemplo, ya que ambos tienen 9 matriz de factores). Es más débil que preguntarse si una simple grupo puede ser isocategorical (es decir, tienen las categorías de representación que son equivalentes como el tensor de categorías) con un no-simple grupo, que ha demostrado ser imposible por Etingof y Gelaki.

Matt Emerton me preguntó cuando yo estaba tratando de explicarle por qué yo no estaba contento con cualquier noción de "simple" para la fusión de las categorías. Es de interés para el estudio de la fusión de las categorías donde el doble incluso Haagerup fusión categoría parece ser "simple", mientras que el director incluso Haagerup fusión categoría parece ser "no es sencillo", pero las dos son categóricamente Morita equivalente.

Answer 1

Hola Noé,

Categóricamente la Morita equivalente grupos fueron estudiados por Deepak Naidu en arXiv:math / 0605530. Se obtuvo una descripción completa de grupos equivalentes de Morita. También se indica que grupos simples son categóricamente Morita rígido.

Mejor, Dmitri

Answer 2

Noé,

Creo que una respuesta a su pregunta es dada en http://arxiv.org/pdf/0810.0032, teorema 1.1.

Subcategorías de la doble D(G) están dadas por los pares de la normal de subgrupos K,N en G que centralizar el uno al otro, junto con los datos de un bicharacter K\N \C^\times.

Así, en particular, si G no tiene subgrupos normales y H hace, entonces usted va a encontrar que D(G) no tiene ninguna trivial subcategorías, mientras que D(H) (uno puede tomar, K=el subgrupo normal de H, N={id}, y el bicharacter K\C^* ser trivial, supongo.

-david

Answer 3

¿No sigue que los dobles de quantum de los dos grupos son isomorfos? ¿Esto ayudaría a establecer la pregunta? (Lo sentimos por publicar esto como una respuesta, no logran dejarlo como un comentario).

Answer 4

El más lejano me puse a pensar sobre este problema, y no he pensado mucho), es que el módulo de categorías sobre C[G] se clasifican en la Sección 3.4. Corresponden a los pares de K un subgrupo de G y una opción de extensión central de K (o, equivalentemente, una cierta cohomology de clase). En el caso donde no hay un centro de extensión de la doble categoría es algún tipo de Hecke álgebra categoría C[K G/K]-mod que nunca he entiende totalmente. También no sé cómo modificar la construcción al introducir la extensión central. De todos modos, modulo comprensión de los problemas de la cuestión se reduce a cuando un trenzado de Hecke álgebra categoría C[K G/K]-mod puede ser equivalente, como un tensor de la categoría a la C[H]-mod para algunos del grupo H.