Es bien sabido que el espacio de todas las derivaciones del álgebra de las funciones suaves sobre una variedad es su espacio de secciones (campos vectoriales sobre la variedad subyacente). Pero, me pregunto por qué encontrar el espacio de todas las derivaciones del álgebra es un problema importante? ¿Qué aspectos de su álgebra subyacente es capaz de mostrar este espacio?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para decirlo brevemente, la interpretación de los campos vectoriales como derivaciones en el álgebra de funciones suaves conduce a una definición del corchete de Lie de los campos vectoriales que es manifiestamente independiente de las coordenadas. (Así que no se trata de entender el álgebra de funciones suaves, sino que la interpretación como derivaciones te da nuevas formas de trabajar con los campos vectoriales).
Cuando se piensa en el análisis sobre las variedades, existe la búsqueda básica de encontrar operaciones que sean independientes de la elección de las coordenadas locales, ya que éstas son las operaciones naturales básicas que se pueden realizar sobre cualquier variedad. Una forma de encontrar tales operaciones es escribir expresiones de coordenadas y verificar la independencia de la elección de coordenadas mediante un cálculo. Aunque este es un enfoque posible, algunas personas (entre las que me incluyo) lo consideran bastante insatisfactorio. De hecho, hay muy pocas operaciones que puedan definirse independientemente de las coordenadas, siendo el ejemplo básico la derivada exterior de las formas diferenciales, el corchete de Lie de los campos vectoriales y la derivada de Lie de los campos tensoriales. De ahí que sea natural pedir una forma conceptual de entender por qué estas operaciones son independientes de las coordenadas (y por qué no hay otras, pero eso es otra historia). La forma más convincente es que se dé una descripción de la operación que no utilice coordenadas en absoluto.
Ya la acción de los campos vectoriales sobre funciones suaves es un ejemplo de estas ideas. Un campo vectorial $\xi$ asocia a cada punto un vector tangente en ese punto, por lo que dada una función suave $f$ por lo que se puede asociar a cada $x$ la derivada de $f$ en el punto $x$ en la dirección $\xi(x)$ . Esto da una asociación libre de coordenadas de un mapa lineal $C^\infty (M,\mathbb R)\to C^\infty (M,\mathbb R)$ a un campo vectorial $\xi$ que escribimos como $f\mapsto \xi\cdot f$ . Es fácil ver que esto es siempre una derivación, y una prueba más complicada muestra que cualquier derivación es de esta forma. Pero un cálculo de dos líneas muestra que el conmutador de dos derivaciones de un álgebra es de nuevo una derivación. Por tanto, dados dos campos vectoriales $\xi$ y $\eta$ en $M$ existe un único campo vectorial $[\xi,\eta]$ en $M$ tal que $[\xi,\eta]\cdot f=\xi\cdot (\eta\cdot f)-\eta\cdot (\xi\cdot f)$ y todas las propiedades importantes del corchete de Lie (así como su expresión en coordenadas locales) pueden deducirse fácilmente de esta definición, que está completamente libre de coordenadas.
De hecho, se puede utilizar el corchete de Lie para dar descripciones sin coordenadas de la derivada exterior y la derivada de Lie de los campos tensoriales.
