Singular y Gavilla Cohomology

Question

Deje $X$ ser un complejo colector de dimensión $n$. Por lo tanto, es un verdadero colector de dimensión $2n$.

Ahora cohomology es un concepto topológico por lo que no debe depender de la estructura dada en un espacio topológico.

Sabemos que $k^{th}$ Singular cohomology de $X$$0$$k \gt 2n$. Se puede definir también una gavilla cohomology en ese espacio el uso de derivados functor enfoque de Grothendieck. Entonces (por un resultado de Grothendieck) sabemos que la k-esima gavilla cohomology es$0$$k \gt n$.

Ahora, para la constante de poleas [di R], la gavilla cohomology de acuerdo con singular cohomology [con el coeficiente R]. ¿Esto significa que incluso las $k^{th}$ singular cohomology de $X$ se desvanece para $k \gt n$?

[Editado] ahora siento que el resultado de lo que dice esa gavilla y singular está de acuerdo es que de hecho éste que $k^{th}$ gavilla cohomology [de un complejo múltiple y constante gavilla] de acuerdo con $2k^{th}$ singular cohomology [de la real subyacente colector]. Es esto correcto?? Todavía me gustaría que otros comentarios.

Gracias.

Answer 1

El cohomological dimensión de un real $n$-colector $M$$n$: esto significa que $H^i(M,\mathscr F)=0$ por cada gavilla $\mathscr F$ de abelian grupos en $M$ si $i>n$, y que existen poleas $\mathcal F$$M$$H^n(M,\mathscr F)\neq0$. Usted encontrará esto resultó en Bredon del libro sobre la teoría de la Gavilla, §II.16.

De ello se desprende que la cohomological dimensión de un complejo de $n$-colector es $2n$. Por ejemplo, llegar a la máxima, al menos para compactas, para la constante de gavilla $\mathbb R$.

La respuesta a su "¿ esto significa que incluso la k-esima singular cohomology de X se desvanece para k > n??" la pregunta es No (puede contestar sin la determinación de la cohomological dimensión: sólo considere la posibilidad de un pacto compleja $n$-colector, la cual es automáticamente orientado a: ¿qué es lo $2n$-th cohomology grupo?)

La pregunta en la que [Editado] párrafo también tiene una respuesta negativa. Considere la posibilidad de ejemplos para ver que es así.

Answer 2

La instrucción es la siguiente: Si usted toma una variedad con la analítica de la topología (o un complejo de colector), entonces sí, gavilla cohomology de la constante gavilla está de acuerdo con singular cohomology. Más generalmente, la gavilla cohomology de una constante gavilla en un local contráctiles espacio está de acuerdo con singular cohomology de ese espacio. Creo que hay una explicación de esto en algún lugar de la Warner libro "Fundamentos de Diferenciables Colectores y la Mentira de los Grupos".

Por otro lado, si usted tiene una irreductible variedad con la Zariski de la topología, a continuación, haz cohomology $H^i$ de la constante gavilla es cero para $i > 0$, debido a la constante gavilla es flasque.

Comentarios adicionales: Si lo que quieres es ser capaz de lidiar con singular cohomology de una manera más "algebraica", puede hacerlo mediante el uso de la descomposición de Hodge $H^n(X;\mathbb{C}) = \bigoplus_{p+q=n}H^q(X,\Omega^p)$ que expresa singular cohomology en términos de gavilla cohomologies de $\Omega^p$'s. Esto funciona si el $X$ es un compacto de Kähler colector, por ejemplo, una suave variedad proyectiva. Si su $X$ es una variedad algebraica, también puede utilizar etale cohomology de un "algebraica" manera de lidiar con singular cohomology; ver Milne, libro de notas en etale cohomology para más.