Encontrar una integral doble $\int_1^\infty\int_0^\infty\frac{1}{(x^3+y^3)^3}\mathrm{d}x\ \mathrm{d}y=\frac{10\pi}{189\sqrt3}$

Question

¿Cómo podemos demostrar que $$\int_1^\infty\int_0^\infty\dfrac{1}{(x^3+y^3)^3}\mathrm{d}x\ \mathrm{d}y=\dfrac{10\pi}{189\sqrt3}$$

Traté de ampliar y uso parcial de la fracción, pero en vano. No tengo idea de qué hacer ahora. Por favor, ayúdenme. Gracias.

Por favor, evite el uso de análisis complejo, ya que no estoy familiarizado con él.

Answer 1

En primer lugar, $$\int_0^\infty \frac{dx}{(x^3+y^3)^3} = \frac{1}{y^9}\int_0^\infty \frac{dx}{((x/y)^3+1)^3}= \frac{1}{y^8}\int_0^\infty \frac{dt}{(t^3+1)^3}= \frac{1}{y^8}\int_0^\infty \frac{\frac13u^{-2/3}du}{(u+1)^3}=$$ $$= \frac{1}{3y^8}\mathrm{B}\left(\frac13,3-\frac13\right)= \frac{1}{3y^8}\frac{5}{3}\frac{2}{3}\frac{\pi}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{10\pi}{27\sqrt3}\frac{1}{y^8}.$$ Desde $$\int_1^\infty\frac{dy}{y^8}=\frac17$$ obtenemos el resultado deseado $$\frac{10\pi}{189\sqrt3}.$$