Vamos un paso atrás y preguntar cuál es el factor determinante es y por qué es útil. A continuación, vamos a llegar a esta propiedad en particular.
Me permito introducir un nuevo producto de vectores, llama la cuña de producto. Si $a, b$ son vectores, entonces su producto exterior es $a \wedge b$. El resultado no es un vector, pero en su lugar hemos de interpretar geométricamente como una orientada al avión-exactamente el plano perpendicular a $a \times b$, como cuestión de hecho, pero podemos seguir acuñando--por ejemplo, la formación de $a \wedge b \wedge c$, lo que representa un volumen.
Por supuesto, en el espacio 3d, sólo hay una unidad de volumen (se le puede llamar $\hat x \wedge \hat y \wedge \hat z$, pero permítanme llamarlo $i$ para el corto. Todos los otros volúmenes son múltiplos escalares de este volumen, al menos en términos de la magnitud y la orientación (usted puede estar pensando "orientación?" Yo sostengo que un sistema de coordenadas siguientes: el de la derecha de la regla es oppositedly orientado a una siguiente a la izquierda-la regla de la mano, y la unidad de los volúmenes formados por acuñamiento sus vectores unitarios son opuestas orientada). Es por esta razón que el volumen de los elementos son a menudo llamados pseudoscalars, porque sólo son diferentes de escalares por cómo han orientaciones donde los escalares no.
Cómo se relaciona esto con las matrices? Así, las matrices se utilizan para representar lineal de los operadores sobre los vectores, pero estos operadores actúan sobre la cuña de productos de vectores o pseudoscalars demasiado. Las "matrices" se puede utilizar para representar estas extensiones de la original del operador son diferentes de las de la matriz original. Definimos las relaciones por una simple regla. Si $\underline T$ es un operador lineal en un vector, entonces definimos $\underline T(a \wedge b) = \underline T(a) \wedge \underline T(b)$, y así sucesivamente (tenga en cuenta que el producto cruz no tiene esta bonita propiedad, excepto bajo rotaciones).
Pero, de nuevo, nos dijo que sólo hay una unidad de pseudoscalar ($i$), por lo que la acción de un operador lineal en $i$ debe ser algo de escalar varios de $i$. Es decir, si $\alpha$ es un escalar,
$$\underline T(i) = \alpha i$$
Podemos definir este número $\alpha$ a ser el factor determinante, nos dice geométricamente cómo la unidad de volumen es reducido o dilatado (o cambios de orientación), bajo la acción de un operador lineal.
Usted puede encontrar el determinante de un operador lineal por escrito de la representación de la matriz y acuñamiento de los vectores que aparecen allí. Esto está perfectamente bien fundada. Usted sólo necesita saber que $a \wedge b = - b \wedge a$--vectores anticommute bajo la cuña--y que la cuña es asociativa. Conociendo estas propiedades hace que sea posible hacer los cálculos con la cuña.
(Si usted está perplejo por qué ocultarse vectores da el determinante, siéntase libre de preguntar y voy a aclarar este punto.)
Así que vamos a tomar tres vectores $f, g, h$ que aparecen en la representación de la matriz de un operador lineal y la cuña de ellos para encontrar el determinante. Deje $f = f^x e_x + f^y e_y + f^z e_z$ y así sucesivamente. Entonces podemos escribir la siguiente:
$$\begin{align*}
f \wedge g \wedge h = f^x e_x \wedge (g \wedge h) + f^y e_y \wedge (g \wedge h) + f^z e_z \wedge (g \wedge h)\end{align*}$$
He ampliado la cuña de producto a través de la linealidad (la propiedad distributiva, que se me olvidó mencionar antes, pero también es válido para la cuña). Este es el fundamento de la técnica que e llegado a través de lo que se llama de la expansión de Laplace, o cofactor de expansión, o de expansión por menores de edad. El antisymmetry de la cuña significa que podemos escribir $f^x e_x \wedge (g \wedge h)$
$$f^x e_x \wedge (g \wedge h) = f^x e_x \wedge (g^y e_y + g^z e_z) \wedge (h^y e_y + h^z e_z)$$
Por qué? Debido a $e_x \wedge e_x = 0$ siempre, así que si alguno $e_x$ apareció en $g$ o $h$, que sería irrelevante. Podemos ignorarlos, y en su lugar, nos encontramos con el "determinante" de un operador lineal en el $yz$-plano. Por lo tanto, el método de expansión por parte de los menores de forma recursiva de la siguiente manera por la expansión de un único vector a través de la linealidad a reducir la posterior cuña de productos para una cuña de producto (un "factor determinante") usted ya sabe. El método tiene sus raíces en la relación entre el determinante y volúmenes, como todos los términos que componen el determinante debe contener 1 y sólo 1 componente de algunos vectores de cada una de las direcciones coordenadas, no más, no menos.
