El problema es integrar $$ \int_0 ^{2 \pi } \sin \theta \cos ^2 \theta \,d \theta. $$ Lo que he intentado es sustituir $t := \cos \theta $ pero los nuevos límites de la integración son iguales entre sí. ¿Cómo resuelvo esto?
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Travis
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He aquí un método ingenioso que no implica la sustitución (y aún así no implica el F.T.C.): El integrando es periódico con el período $2 \pi $ porque es un producto de funciones periódicas, por lo que el valor de la integral es el mismo en cualquier intervalo de longitud $2 \pi $ incluyendo $[- \pi , \pi ]$ . Pero el integrando es impar (es el producto de una función uniforme y una función impar), y el integrando de cualquier función impar en un intervalo simétrico sobre el origen es cero, y así $$ \int_0 ^{2 \pi } \sin \theta \cos ^2 \theta \, d \theta = 0.$$
pete
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Tenga en cuenta que la función $f \left ( \theta\right )= \sin\theta\cos ^{2} \left ( \theta\right )$ satisface $f \left ( \theta + \pi\right )=-f \left ( \theta\right )$ para que
$$ \int_ {0}^{2 \pi }f \left ( \theta\right )d \theta = \int_ {0}^{ \pi }f \left ( \theta\right )d \theta + \int_ {0}^{ \pi }f \left ( \theta + \pi\right )d \theta = \int_ {0}^{ \pi }f \left ( \theta\right )d \theta - \int_ {0}^{ \pi }f \left ( \theta\right )d \theta =0$$
