¿Cómo puede ser demostrado que la constante de Euler es igual al límite de la suma de todos los $\frac{1}{k!}$ al$k$$0$$+\infty$?
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¿Demasiados anuncios?
Pero me encontré con la misma duda cuando me estaba leyendo la " Sinopsis de primaria los resultados en matemáticas ", me convencí a mí mismo con estos dos hechos ( no sé si son verdad o no, que debe ser decidido por el Señor Srivatsan ) .
La función de $e^x$ ha derivado igual a sí mismo. A continuación, el La serie de Maclaurin para cualquier función que puede ser diferenciado como muchos veces como quieras es
$$f(x) =\large \frac{f(0)}{0!} + f^\prime(0)\cdot\large \frac{x}{1!} + f^{\prime\prime}(0)\cdot\large \frac{x^2}{2!} + f^{\prime\prime\prime}(0).\frac{x^3}{3!} + \cdots$$
Para $f(x) = e^x$, usted tiene
$e^x = f(x) = f^\prime(x) = f^{\prime\prime}(x) = f^{\prime\prime\prime}(x) = \cdots 1 = f(0) = f^\prime(0) = f^{\prime\prime}(0) = f^{\prime\prime\prime}(0) = \cdots$
y la serie de Maclaurin para $e^x$ es entonces
$$e^x =\large 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} +\frac{ x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$
Ahora establezca $x = 1$, y se obtiene la serie que usted haya solicitado.
Otra versión:
La definición de $e$ es
$$e = \lim_{n\to \infty}(1+1/n)^n $$
Considerar el binomio de expansión para$ n = 1, 2, 3, 4, 5, \ldots$
$$(1+1/n)^n = \sum^n_{i=0}C(n,i) (1/n)^i$$
Para $i = 0, 1, 2, 3, \ldots$ uno tiene
$$C(n,i)(1/n)^i = \rm{ \large \frac{n!}{(n-i)!i!n^i}}$$ $$ = (1)(1-1/n)(1-2/n)\cdots (1-[i-1]/n)/i!$$
cuyo límite cuando n crece sin límite es $\large\frac{1}{i!}$ . Entonces
$$ \lim_{ n\to \infty} (1+1/n)^n = \lim_{ n\to \infty} \sum^n_{i=0} C(n,i) (1/n)^i$$ $$= \sum^\infty_{i=0} \lim_{n\to \infty} C(n,i)(1/n)^i$$
$$e = \sum^{\infty}_{i=0} 1/i!$$
De ahí el resultado.
( Créditos de la edición va para el Señor Srivatsan , como él me enseñó a usar " en lugar de \prime y muchas cosas más que hizo que mi respuesta aparezca más claramente, y también para el Señor Michael Hardy, para la edición de la respuesta que ahora aparece más claramente ).
Gracias.
Atentamente,
Iyengar.
guruz
Puntos
1129
Asumiré $e=\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n$. Aquí es un argumento heurístico que puede ser rigurosa. Aplicar el teorema del binomio para $(1+1/n)^n$ para obtener $$(1+1/n)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}n^{-k}=1+n/n+\frac{n(n-1)}{2n^2}+\cdots$$ Esto es aproximadamente el $1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\cdots.$ Tomando el límite cuando $n$ va al infinito, obtenemos $e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$.
Me he hecho un wiki de la comunidad en caso de que alguien quiera el suministro de algunos de los detalles que faltan para que sea totalmente riguroso.
Adit Daftary
Puntos
72
Usted tiene que demostrar que la secuencia de sumas parciales de la serie converge. Pero para todos $x$ , $e^x=1+x+....+x^n/n!+r(x)$ donde $r(x)$ es el resto de la orden de $n$. Demostrar que para $x=1$ la secuencia de $r(x)$ converge a cero. Se puede utilizar la fórmula de Lagrange, y el uso de $e<3$.
