Probar que si $x$ es un no-cero de número racional, entonces $\tan(x)$ no es un número racional y utilizar esto para probar que $\pi$ no es un número racional.
He oído que esta fue demostrado hace doscientos años. Necesito esta prueba porque quiero saber la prueba de por qué $\pi$ no es racional.
Necesito el más simple prueba!
thanx !
La prueba de un par de cientos de años fue hecho por Lambert y Miklós Laczkovich proporcionado una versión simplificada después. La página de Wikipedia para "la Prueba de que $\pi$ es irracional" proporciona esta prueba (además de algunas otras de la discusión).
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational#Laczkovich.27s_proof
Edit: prueba de la afirmación más general aquí depende de la Reivindicación 3, en Laczkovich de la prueba. La definición de las funciones $f_k(x)$ por \begin{equation} f_k(x) = 1 - \frac{x^2}{k} + \frac{x^4}{2!k(k+1)} - \frac{x^6}{3!k(k+1)(k+2)} + \cdots \end{equation} se la puede ver (usando series de Taylor) que \begin{equation} f_{1/2}(x/2) = \cos(x) \end{equation} y \begin{equation} f_{3/2}(x/2) = \frac{\sin(x)}{x} \end{equation} así que \begin{equation} \tan x = x\frac{f_{3/2}(x/2)}{f_{1/2}(x/2)} \end{equation}
De tomar cualquier $x \in \mathbb{Q} \backslash \{0\}$ sabemos que $x/2 \in \mathbb{Q} \backslash \{0\}$ y también que $x^2/4 \in \mathbb{Q} \backslash \{0\}$. A continuación, $x/2$ satisface las hipótesis requeridas por la Reivindicación 3.
El uso de la Reivindicación 3, y teniendo $k = 1/2$, tenemos \begin{equation} \frac{f_{k+1}(x/2)}{f_k(x/2)} = \frac{f_{3/2}(x/2)}{f_{1/2}(x/2)} \notin \mathbb{Q} \end{equation} que luego también implica que \begin{equation} \frac{x}{2}\frac{f_{3/2}(x/2)}{f_{1/2}(x/2)} \notin \mathbb{Q} \end{equation} Multiplicando por 2, a continuación, da $\tan x \notin \mathbb{Q}$.
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