Grupo Fundamental de los cálculos

Question

Soy un estudiante de tomar mi primer curso de topología algebraica. He tropezado a través de este ejercicio: calcular el grupo fundamental de la $S^3-\gamma$ donde $\gamma$ es una circunferencia en $\mathbb{R}^3$ ( $\gamma=S^1$ $\mathbb{R}^3$ ) y $S^3=\mathbb{R}^3\cup\lbrace\infty\rbrace$ es el punto de compactification de $\mathbb{R}^3$. Pensé $\mathbb{R^3}$$\mathbb{R}^1\times\mathbb{R}^2$, entonces yo puedo pensar de $\gamma$ $S^1$ $\mathbb{R}^2$ que tiene el mismo homotopy tipo como $\mathbb{R}^2\setminus\lbrace (0,0)\rbrace$. Por lo $\mathbb{R^3}\cup\lbrace\infty\rbrace$ sin $\gamma$ tiene el mismo homotopy tipo como $\mathbb{R}\cup\lbrace\infty\rbrace$, y su punto de compactification da $S^1$.

En la final, me gustaría conseguir $\pi_1(S^3\setminus\gamma)=\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$, pero no sé si es correcto.

Tal vez yo podría pensar de $S^3$$S^1\ast S^1$, pero no sé si eso podría ayudar.

Gracias de antemano

Answer 1

Si "rota" su $S^3 = \mathbb{R}^3\cup\lbrace\infty\rbrace$, de modo que uno de los puntos de $\gamma$$\infty$, consigue $S^3 \setminus \gamma$ homeomórficos a $\Bbb R^3 \setminus \text{a line}$, que puede ser la deformación se retractó de un círculo, por lo $\Bbb Z$ es!

También, su razonamiento parece lo suficientemente sólidas, y se obtiene la misma respuesta, así que supongo que es correcto.