¿Por qué el paralelo transportado $4$ -cambio vectorial de $X^a(x)$ à $X^a(x) + \bar{\delta}X^a(x)$ ?
Esto también se discute en el libro de relatividad de D'Inverno [página - 72]; pero la razón no está clara.
Respuestas
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Realmente no me gusta ese diagrama. No, de verdad. Creo que transmite una mala intuición que puede confundir. No me gusta lo que hace con los coeficientes de conexión (símbolos de Christoffel). He aquí por qué.
En una variedad general, los espacios tangentes, por supuesto, no son comparables en diferentes puntos. Esto contrasta con la situación del espacio euclidiano, que puede tomarse como isomorfo al espacio tangente a cualquiera de sus puntos.
Así que para definir un "cambio" en el desplazamiento entre espacios tangentes en diferentes puntos, necesitamos definir algún mapeo que defina cómo nuestros vectores base en el primer espacio tangente son mapeados a los del segundo. Una vez que definimos ese mapeo, tenemos algo con lo que podemos medir el "cambio" relativo. Tomamos un vector original en el espacio tangente y encontramos su imagen bajo este mapeo y declaramos que esta imagen es "la misma" que el vector original a efectos de medir el cambio y así definir, por ejemplo, una derivada.
Sin embargo, resulta que en los colectores generales este mapeo, es decir, el "transporte paralelo", depende de la trayectoria. Consulte Resumen de Aman-Abhishk sobre el transporte paralelo alrededor de un bucle cerrado para entender intuitivamente por qué es así. De forma más abstracta, aunque tenemos mucha libertad para definir nuestra conexión y la derivada covariante, esta última tiene que cumplir la regla de Leibniz. Esto obliga a unas restricciones que significan que el "mapeo de no cambio" del transporte paralelo en general depende de la trayectoria (sin embargo, véase la nota a pie de página). Lo que esto significa es que no hay un conjunto de campos vectoriales en la variedad cuyas tangentes podamos utilizar como vectores de referencia. ¿No sería fácil? Sólo tendríamos que medir cómo cambian los vectores con respecto a estas tangentes. Pero, por supuesto, esto implicaría que el transporte paralelo fuera independiente de la trayectoria.
Así que aquí está lo que creo que es un mejor diagrama.
He dibujado los espacios tangentes a tres puntos de una variedad bidimensional. Las direcciones marcadas $x$ y $y$ en cada caso son vectores tangentes a dos campos vectoriales ortogonales que podríamos esperar utilizar algún tipo de referencia. En efecto, podemos elegir una conexión tal que los coeficientes de conexión desaparezcan en un punto: sea éste el punto $p_1$ en mi diagrama. Así que en este caso las versiones transportadas en paralelo del vector $X$ permanecer "alineado" a dos campos vectoriales de referencia. Así que he calculado a través de la derivada covariante lo que el gran vector verde en el punto $p_2$ debe ser si calculamos el cambio de este vector (independiente de las coordenadas, por supuesto): nuestro mapeo de transporte paralelo deja $X$ alineado con el $y$ -eje, y luego simplemente añadimos $\delta X$ . Asimismo, nuestro transporte paralelo deja $X$ alineado con el $y$ -eje cuando nos desplazamos al punto $p_3$ . Sin embargo, como Resumen de Aman-Abhishk sobre el transporte paralelo alrededor de un bucle cerrado muestra que, en general, no podemos hacer este truco si empezamos con el vector en el punto $p_3$ y calcular su cambio a través de la derivada covariante en el desplazamiento a $p_2$ . Nuestro paralelo transportado $X$ alrededor del bucle es, en general, distinto de cero. Por lo tanto, debe haber en general algún componente $\Gamma X$ para que nuestro paralelo transportado $X$ al pasar directamente de $p_1$ à $p_2$ es diferente a la de ir de $p_1$ à $p_2$ à $p_3$ . Aquí $\gamma\in GL(N, V)$ es el cuadrado $N\times N$ matriz (aquí $N$ es la dimensión del colector, en este caso dos) del mapa de transporte paralelo. El vector transportado en paralelo "sin cambio" $\Gamma X$ es diferente esta vez, y esto es lo que miden los coeficientes de conexión. El "cambio absoluto" al pasar de $p_2$ à $p_3$ se muestra como $\delta X^\prime$ .
Nota: La no euclididad (es decir, la desviación de la geometría de una variedad respecto al postulado de las paralelas de Euclides) se codifica en general en dos cantidades, los tensores de curvatura y torsión. La curvatura es la que mide cómo cambia el vector cuando se transporta en paralelo alrededor de una espira. La relatividad general, al igual que la teoría sobre una variedad psuedo-riemanniana o riemanniana, hace uso de uno de los llamados "teoremas fundamentales de la geometría riemanniana", según el cual siempre se puede definir una conexión para absorber la torsión, es decir lo puso a cero. En este caso, el transporte paralelo depende siempre de la trayectoria. Sin embargo, todavía es posible tener una geometría no euclidiana sin curvatura pero con torsión no nula: como en el comentario de Christoph más abajo, el teleparalelismo de Einstein es una teoría que no tiene curvatura. Un ejemplo más conocido es el de un grupo de Lie: se puede definir el transporte paralelo mediante la idea de la traslación a la izquierda (o a la derecha) de los vectores. Dado que la traslación la efectúa el miembro del grupo que es también el punto del colector en cuestión, ¡el transporte paralelo no puede depender de la trayectoria! Sin embargo, la mayoría de los grupos de Lie tienen una torsión distinta de cero, ya que en general no son planos.
user12240
Puntos
16
Trataré de explicar transporte paralelo primero : Esta imagen
muestra cómo un vector generalmente no permanece paralelo a sí mismo bajo el transporte paralelo. El vector aquí se mueve a lo largo de la trayectoria A-N-B y es se limita a permanecer en el plano tangencial a la superficie esférica en todos los puntos de la trayectoria porque la geometría no conoce la "tercera" dimensión (que es la normal a la superficie) al igual que no se inclina el vector fuera del plano al llevarlo de A a B en la geometría vectorial 2D.
Ahora probablemente puedas convencerte de que un vector situado en A e infinitesimalmente cerca de él a lo largo de A-N han cambiado efectivamente en una pequeña cantidad, como en el caso del movimiento circular. Si describes esta situación en una hoja plana, obtendrás tu diagrama.
