Fundamentos de los sistemas y morfismos de los esquemas de

Question

Actualmente estoy leyendo a través de Hartshorne, y han llegado a través de un par de cosas que me han dejado pensando.

(i) un Poco pedante, pero también porque yo en realidad no sé la respuesta, (en el Ejemplo 2.3.4) se mira en el plano afín a través de una algebraicamente cerrado de campo, que se define como el esquema de $k[x,y]$, y describe algunas de sus propiedades. Él dice

También, para cada polinomio irreducible $f(x,y)$, $\eta$ cuyo cierre se compone de $\eta$ junto con todos los puntos cercanos a $(a,b)$ que $f(a,b) = 0$. Decimos que $\eta$ es un punto genérico de la curva de $f(x,y) = 0$.

Ahora, es $\eta$ único? La forma en que lo leí la primera frase, siento que no debería ser sólo un punto, pero luego dice $\eta$ es un punto genérico en lugar de los genéricos punto, lo que realmente me hizo sentir que no era el único que cuando lo he leído.

(ii) Las dos definiciones antes de Ejemplo 3.2.1 definir ciertos morfismos a ser localmente finitos tipo, finito tipo o simplemente finito, pero en el siguiente ejemplo se dice que un esquema (sin morfismos entre los esquemas en el ejemplo) es finito tipo. ¿Qué significa esto? Tal vez que el proyecto en sí mismo, admite una cubierta a través afín subconjuntos que son la Especificación de los anillos?

(iii) Considerar la posibilidad de $R = \mathbb{C}[x]/(x^2)$. A continuación, Espec $R$ tiene un solo elemento, a saber,$(x)$. Por lo tanto Espec $R$ es irreductible. En un poco de manera entretenida sin embargo, Espec $R$ es no reducido. Esto se deduce fácilmente de Ejemplo 3.0.1 en el libro (en particular "$X$ se reduce si y sólo si nil $A = 0$", donde nil $A$ es el nilradical de $A$, que en nuestro caso es $(x)$) pero soy bastante nuevo en la localización, así que lo que con la esperanza de que alguien pudiera hacer que no estoy haciendo un tonto error en el intento de mostrar de manera directa. Es la localización de $R$ $(x)$ simple $R$ nuevo? (Y, por tanto, la gavilla $\mathcal{O}((x)) = R$, lo que sin duda tiene un no-cero nilpotents.)

Debo añadir, por último, estoy seguro de que no era Hartshorne que decidió utilizar irreductible y reducido para distintas cosas, pero tengo curiosidad si alguien sabe por qué la terminología surgió de esta manera? Tal vez una cruda traducción del francés, donde las palabras son un poco más diferentes?

Gracias!

Answer 1

i) $\eta$ es único: debe ser el punto descrito por el ideal de la $(f(x, y))$ por el Nullstellensatz. En total generalidad, un punto genérico de un espacio topológico $X$ es un punto cuyo cierre es de todos los de $X$, y en este generalidad genérico puntos no son únicas.

ii) Todo sistema admite un canónica de morfismos a su base de esquema. Para afín esquemas sin más cualificación esto es $\text{Spec } \mathbb{Z}$. Este mapa viene de la especificación y el pegado de la canónica de mapas de $\mathbb{Z} \to R$ dando canónica mapas de $\text{Spec } R \to \text{Spec } \mathbb{Z}$ para todos los afín esquemas. Para los esquemas de más de un campo base $k$ canónica de mapas en lugar de $\text{Spec } R \to \text{Spec } k$. Aplicar la definición de estos morfismos.

iii) Sí. Cada elemento de a $\mathbb{C}[x]/(x^2)$ no $(x)$ ya es invertible.