Interior y puntos de límite de $n$-manifold con frontera

Question

Estoy leyendo Lee, "Introducción a Topológico Colectores', de 2011. Después de que él introduce $n$-colector con un límite de

Una $n$-colector con un límite es una segunda contables de Hausdorff espacio en el que cualquier punto tiene una vecindad que es homeomórficos ya sea a un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$ o a un subconjunto de a $\mathbb H^n = \{x\in \mathbb R^n:x_n\geq 0\}$ dotado de una topología Euclidiana.

El interior gráfico, a continuación, $(U,\phi)$ donde $U$ está abierto en $M$ $\phi:U\to V\subseteq \mathbb R^n$ es un homeomorphism (aquí $V$ está abierto en $\mathbb R^n$) y límite gráfico como $(U',\phi')$ donde $U'$ está abierto en $M$ $\phi':U'\to V'\subseteq \mathbb H^n$ es un homeomorphism (aquí $V$ está abierto en $\mathbb H^n$ $V'\cap \partial \mathbb H^n\neq\emptyset$).

Luego, escribe:

Si M es un a $n$-manifold con frontera, un punto de $p$ $M$ es llamado un punto interior de $M$ si es en el dominio del interior gráfico; y es llamado un límite de punto de $M$ si es en el dominio de un límite de gráfico que se lleva a $p$$\partial \mathbb H^n$.

La pregunta natural es - puede ser $p$ tanto en el interior como límite el punto de $M$? En 2011, la versión de el libro de Lee, escribe:

Cada punto de M es un interior punto o un punto límite: si $p \in M$ está en el dominio de un interior, gráfico, entonces es un punto interior; por otro lado, si es en el dominio de un límite gráfico, entonces es un punto interior si su imagen se encuentra en $\operatorname{Int}\mathbb H^n$, y un límite de punto de si la imagen se encuentra en $\partial \mathbb H^n$.

No entiendo su argumentación. Por otra parte, en el mismo libro en la página siguiente se escribe explícitamente que no es posible demostrar que $p$ es ya sea interior o el límite a esa etapa. (Teorema de 2.59). Tengo dos preguntas:

1. ¿Me olvido de algo, o dos estados contradictorios hechos?

2. Traté de demostrar que el punto es límite interior o de frontera y llegar a el hecho de que cualquier subconjunto $V'$ abierta en $\mathbb H^n$ tal que $V'\cap \partial \mathbb H^n\neq\emptyset$ no es homeomórficos a cualquier subconjunto de a $\mathbb R^n$ y no podía probar ese hecho. Me pueden ayudar con esa prueba?

Answer 1

Creo que tu confusión se basa en la interpretación de "o ... o" con el significado de "uno o el otro, pero no ambos" (o exclusivo). Aunque esta interpretación no es poco común en el inglés cotidiano, que no es como yo estaba usando la frase en el pasaje que se cita. Me refería a "o" habitual en las matemáticas, la lógica, el sentido de "uno o el otro, o ambos" (o inclusive).

Así que mi reclamación en la página 43 es que "cada punto de $M$ es un punto interior o frontera de momento," pero yo no estoy diciendo (en esta etapa) que un punto no puede ser tanto. El hecho de que no puede ser es lo que el Teorema de 2.59 (Invariancia de la Frontera) garantías, pero las herramientas para demostrar que en todos los casos no se han desarrollado hasta el Capítulo 13 (Homología).

El tema de exclusivo o inclusivo o es una fuente común de confusión. En inglés ordinario, "o...o" es, probablemente, más a menudo se interpreta como exclusivo o, pero no para todos. El significado depende del contexto: "usted puede tener ya sea una sopa o una ensalada con su entrada," es claramente exclusiva, sino en el "debe tener una licenciatura o tres años de experiencia," es tan claramente inclusivo. El mismo problema surge aún más con "o" por sí solo (si se elimina "" de esas dos frases, no cambia el significado de cada uno).

Si bien puede ser matemáticos que el uso de "a o B" cuando en realidad quieren decir "a o B, pero no ambos," creo que la mayoría de cuidado de matemática escritores insertar alguna frase como "pero no tanto" cuando en realidad quieren decir o exclusivo, y de otra manera de interpretar "o" y "o...o" como inclusiva. Esa es sin duda la forma de escribir. Siento que confundido -- voy a tratar de ser más ahorradores con mi uso de "o" a partir de ahora.

Juan M. (Jack) De Lee (el autor)

Answer 2

La invariancia de la frontera se puede ver fácilmente desde el Local de la Inversión Teorema de Cálculo. De hecho, es suficiente para ver que un diffeomorphism $h$ (un cambio de gráficos) de una halfspace $\mathbb H^n$ a otro $\mathbb H^n$ mapas de $\{x_n\ge0\}$ a $\{x_n\ge0\}$. Pero supongamos, digo, $h(0)=(0,\dots,0,a)$$a>0$. Entonces el inverso $h^{-1}$ restringe a un diferenciable de asignación de $W=\{x_n>0\}\to\mathbb R^n$ con cero jacobiana det. Así, por locales de inversión, $h^{-1}$ mapas abiertos y de bola de $B\subset W$ $h(0)$ en un abrir nbhd $V$$a$$\mathbb R^n$. Tal $V$ no puede ser incluido en $\mathbb H^n$, y hemos terminado.

Sólo para el registro, este utiliza la inversión, pero el resultado es, de hecho, más de verdad elemental: que puede ser deducida por un poco de risa floja con la noción de derivada. Aunque esto no es fácil encontrar en la literatura...