¿Lo que ' s mal en esta prueba de la infinidad de números primos?

Question

Mientras que la revisión de un texto en línea en álgebra abstracta para mi sitio web-que tengo la esperanza de que va a ir a vivir a finales del mes-uno de los ejercicios en el libro que me inspiró para producir un simple conjunto teórico de la prueba de la infinitud de los números primos. Pero se ve mal! No puedo decir por qué exactamente, pero algo parece fuera de él! Si alguien puede detectar lo que está mal con él, que me haga saber, estoy demasiado cansado para pensar en ello ahora. Si NO es malo, bueno, ya se que publicar gratis, vaya por delante, no voy a pelear contigo por el crédito. Pero chico, yo estaría sorprendido si nunca nadie pensó en ello y es correcto!

Hay countably infinita de enteros positivos, por definición. Descomponer los números enteros positivos en la siguiente partición: el conjunto de todos los números primos y el conjunto de todos los compuestos de enteros positivos. Suponga que hay un número finito de números primos. A continuación, debe haber una infinidad de compuestos de enteros positivos porque la unión de un número finito de conjuntos finitos es finito. Por el teorema fundamental de la aritmética, cada uno compuesto debe ser un único producto de números primos. Puesto que hay un número finito de números primos, digamos $$ n de los números primos, entonces hay en la mayoría de los $n!$ productos de números primos. Por lo tanto, no debe ser en la mayoría de las n! compuesto de números enteros positivos. Pero significa que los números enteros positivos son una unión de 2 conjuntos finitos y debe ser finito, y esto es una contradicción!

No tiene que ser algo malo con esta prueba, pero para la vida de mí no puedo ver lo que es ahora. Que probablemente voy a patear cuando alguien lo señala-es probable que haya algo muy trivial.

Toda la toma?

Answer 1

Allí es algo mal con su prueba. Usted afirma que puesto que hay solamente primos de $ $n, hay sólo $n! $ compuesto números, que no es cierto. Incluso un primer single, $2$ por ejemplo, produce infinitamente muchos compuestos:

$$ 2,4,8,16,32, \dots, 2 ^ n, \dots$$

Answer 2

Tenga en cuenta que \{2^n\mid n\in\Bbb $ N ^ + \} $ es infinito numerable, pero tiene un único número primo que es el único divisor principal de todos los números de este conjunto.

Answer 3

El error es afirmar que hay solamente un número finito de posibles productos de números primos de una lista de números primos distintos de $n$. Son olvidar los productos con factores primeros repetidos.

Answer 4

Las otras respuestas son correctas, por supuesto, pero yo no puedo ayudar pero siento que está pussyfooting alrededor de la el verdadero problema, que es que el teorema fundamental de la aritmética es acerca de multisets de números naturales.

Teorema Fundamental de la Aritmética. Para todo $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, no hay una única finito conjunto múltiple de los números primos cuyo producto es de $n$.

Ahora vamos a $P$ denota el conjunto de todos los números primos. Si suponemos que $P$ es finito, llame a su cardinalidad $P$, entonces es cierto que $P$ $2^n$ subconjuntos. Pero todavía puede tener infinitamente muchos finito multisets. por ejemplo,

$$\{2\}, \{2,2\}, \{2,2,2\}, \ldots$$

Answer 5

Que la prueba parece casi deliberadamente confuso.

La prueba lógica es muy simple: Hay un número infinito de números, por lo que hay un número infinito de subconjuntos. Cualquier subconjunto infinito tiene una infinita cantidad de miembros.

Por otro lado, puedo parafrasear un viejo anti-prueba:

Hay un número infinito de números. Pero no todos los números son primos, por lo tanto debe haber un número finito de números primos. Cualquier número dividido por infinito es igual a cero, por lo que no existen números primos.