Dimensión de R sobre Q sin argumento de cardinalidad.

Question

Busco la prueba más sencilla (elemental) de que $\mathbb R$ es de dimensión infinita como $\mathbb Q$ -espacio vectorial, sin utilizar la cardinalidad. Debería ser comprensible a nivel de bachillerato.

Así que supongo que la pregunta podría reformularse como: ¿cuál es la familia infinita de reales más fácil de demostrar que es independiente? Hasta ahora las raíces cuadradas de los primos parecen un buen candidato, pero la demostración es un poco complicada, ¿es la más fácil posible?

El objetivo de esto es mostrar a los estudiantes que podemos demostrar el resultado de diferentes maneras, y ver que la comprensión de los cardinales es útil. Pero aún así quiero que los alumnos sean capaces de entender la otra demostración.

Answer 1

Considera el conjunto:

$$\{\log p\}_p$$

de logaritmos de números primos. Son linealmente independientes sobre $\Bbb Q$ por el Teorema Fundamental de la Aritmética, es decir, la factorización única de los números enteros mayores que $1$ en primos. Como hay infinitos primos, el conjunto $\Bbb R$ contiene un subespacio de dimensión infinita, por lo que él mismo es de dimensión infinita. (Esta es la prueba estándar que les encanta a los teóricos de los números).

Answer 2

Pruebe $\{1, \pi, \pi^2, \pi^3,\ldots\}$ (o utilice cualquier número trascendental en lugar de $\pi$ ). Puesto que si $$\sum_{i=0}^na_i\pi^i=0, \text{ }a_i\in\mathbb Q$$ entonces $\pi$ debe ser una raíz de $$a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n$$ lo que contradiría la trascendencia de $\pi$ .