La incrustación de los campos en los números complejos $\mathbb{C}$.

Question

Deje $k$ ser un campo de característica $0$ $\mathrm{trdeg}_\mathbb{Q}(k)$ en la mayoría de la cardinalidad del continuo. Yo quiero probar la existencia de un campo homomorphism $k\rightarrow\mathbb{C}$. (Espero que esta declaración es cierto, lo hice en mi cuenta).

Deje $S$ ser un transcedence base para $k/\mathbb{Q}$, $S'$ uno de $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$. Deje $S\rightarrow S'$ inyección. La inducida por el mapa de $\mathbb{Q}[S]\rightarrow\mathbb{Q}[S']\rightarrow\mathbb{Q}(S')\rightarrow\mathbb{C}$ es inyectiva, y por lo tanto (por la asignación de la propiedad de la fracción de campo) induce un mapa de $\mathbb{Q}(S)\rightarrow\mathbb{C}$. Pero como $k/\mathbb{Q}(S)$ es algebraica, se obtiene un inducida por el mapa de $k\rightarrow\mathbb{C}$.

Es esto una prueba de la correcta?

Answer 1

La prueba parece todo correcto para mí.

Como un aparte, este método puede ser usado para demostrar que $\mathbb{C}$ admite infinidad adecuada subcampos isomorfo a sí mismo: sólo tiene que elegir una no-surjective de inyección de $S'\to S'$, lo que inducirá a un no-surjective de morfismos $\mathbb{Q}(S')\to \mathbb{Q}(S')$ y por lo tanto no surjective de morfismos $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$.