¿Qué hace $\bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} \mathcal{O}_X(n)$ representar geométricamente?

Question

Para simplificar, digamos que $A$ es un anillo noetheriano, $S = A[x_0, \ldots, x_r]$ y $X = \operatorname{Proj} S = \mathbb{P}^r_A$ . Quiero entender qué, si es que hay algo, la gavilla $$\mathscr{F} := \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} \mathcal{O}_X(n)$$ significa geométricamente.

Primero, Creo que si pongo $$Y := \operatorname{Spec}(S) \setminus V(S_+) = \mathbb{A}^{n+1}_A \setminus V(S_+)$$ entonces tengo un morfismo $q : Y \to X$ (que lleva los ideales primos correspondientes a los puntos cerrados a sus homogeneizaciones) y que $\mathscr{F} = q_\ast \mathcal{O}_Y$ . ¿Es esto correcto? Todavía no tengo la suficiente confianza en estas cosas como para fiarme de algo así. [ EDITAR : Para ser más específico, estoy teniendo dificultades para construir la función subyacente $q : Y \to X$ de manera que sea posible demostrar que $q$ es continuado por Zariski, hasta el punto de que me pregunto si tal mapa existe en general].

Segundo Si lo anterior es correcto o no, no $\mathscr{F}$ ¿tiene un bonito significado geométrico de algún tipo?

Answer 1

El mapa $q$ está bien definido para cualquier anillo graduado positivo $S$ .

Para cualquier ideal primo $\mathfrak p$ de $S$ , denótese por $\mathfrak p^h$ el ideal homogéneo asociado a $\mathfrak p$ . También es primo. Para cualquier ideal homogéneo $I$ por construcción tenemos:

$I\subseteq \mathfrak p^h $ si y sólo si $I\subseteq \mathfrak p$ .

Tomando $I=S_+$ vemos que $q(\mathfrak p):=\mathfrak p^h\in \mathrm{Proj}(S)$ si $\mathfrak p\notin V(S_+)$ . Esto demuestra que $q$ es en realidad un mapa
$$q: \mathrm{Spec}(S) \setminus V(S_+)\to \mathrm{Proj}(S).$$ Además, la equivalencia anterior muestra que $$ q^{-1}(V_+(I))=V(I) \setminus V(S_+). $$ Por lo tanto, $q$ es continua. Por último, para cualquier $f\in S_+$ homogénea, tenemos $$q^{-1}(D_+(f))=D(f).$$ Esto ayuda a mostrar la igualdad de gavillas que se busca.