¿Cómo puedo demostrar que la ecuación $$3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 0$$ has nonzero solutions modulo every integer but not in $\mathbb{Z}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este es, por supuesto, Selmer el famoso ejemplo de que el principio de Hasse se rompe por cúbicos (o más) formas.
Es fácil encontrar soluciones modulo cualquier poder de la $2$, el poder de $3$, y ningún poder de $5$. Para el mayor de los números primos, si $p\equiv 2\pmod{3}$, entonces cada elemento distinto de cero modulo $p$ es un cubo para recoger a su favorito de los valores de $x$ $y$ los rendimientos de una solución de $z$, y, a continuación, puede utilizar Hensel del Lema para levantar esa solución (como un polinomio cúbico en $z$) modulo $p^n$ cualquier $n$. Si $p\equiv 1\pmod{3}$, entonces usted sólo tiene que encontrar un par de $x$$y$, no ambos cero, tal que $3x^3+4y^3$ $-5$ tienen el mismo cúbicos de carácter modulo $p$, y que da una solución para $z$; Hensel del Lema de nuevo le permite levantar el modulo $p^n$ todos los $n$.
De saber que tiene un valor distinto de cero soluciones de cada modulo de potencia principal conclusión utilizando el Teorema del Resto Chino que tiene soluciones para cada modulo entero.
Demostrando que no tiene ningún número entero soluciones es, hasta donde yo sé, un poco más difícil. Un método que creo recordar que se basa en la multiplicación a través de por $2$, y el factoring $6X^3 + Y^3 = 10Z^3$ $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{6})$ a mostrar que no hay soluciones en $\mathbb{Z}$.
Añadido. Una búsqueda en internet revela una limosna por Keith Conrad que contiene la prueba en detalle, el uso de $p$-ádico de los números y la aritmética en $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{6})$.
