El libro tiene una errata en la descripción de $3$, y estás en lo correcto.
Para ampliar un poco.
Dado un conjunto $a$, definimos $s(a)$, el sucesor de $a$, para el conjunto $s(a) = a\cup \{a\}$.
Un conjunto $X$ se dice es inductivo si y sólo si:
- $\emptyset \in X$; y
- Si $a\in X$,$s(a)\in X$.
El Axioma de Infinitud en la Teoría de conjuntos ZF estados que existe al menos un conjunto inductivo. Dado un conjunto inductivo $X$, podemos definir
$$\mathbb{N}_X = \bigcap\{ S\subseteq X\mid S\text{ is inductive.}\}.$$
Entonces, uno puede demostrar que si $X$ $Y$ son conjuntos inductivos, a continuación,$\mathbb{N}_X=\mathbb{N}_Y$; definimos "los números naturales", $\mathbb{N}$, a esto (muestra ahora a estar bien definidos.
Entonces, ¿qué es $\mathbb{N}$? Contiene $\emptyset$; nosotros la llamamos $0$. Contiene $s(0) = s(\emptyset) = \emptyset\cup\{\emptyset\} = \{\emptyset\}$, lo que llamamos $1$.
Contiene $s(1)$, lo que llamamos $2$. ¿Qué es $2$?
$$2 = s(1) = s(\{\emptyset\}) = \{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\} = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}.$$
Luego tenemos a $s(2)$, llama (como era de esperar), "$3$"; y tenemos:
$$3 = s(2) = s(\{\emptyset,\{\emptyset\}\}) = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\cup\Bigl\{\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\Bigr\} = \Bigl\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\Bigr\} = \{0,1,2\}.$$
Y así sucesivamente. El set contiene exactamente $\emptyset$, y sus sucesores, y corresponde a la ingenua idea de los "números naturales:". El hecho de que es el menor conjunto inductivo" implica que la inducción se tiene: si $S\subseteq \mathbb{N}$ es tal que $0\in S$ y, siempre que $n\in S$ tenemos $s(n)\in S$ (es decir, $S$ es inductivo), a continuación,$S=\mathbb{N}$.
