¿Qué estamos haciendo cuando levantamos $10$ a algunos de número decimal?

Question

Esto es algo que estoy teniendo algunas dificultades para entender.

Cuando he a $10^x$ donde $x$ es un número entero mayor que $0$ , entiendo que esto es equivalente a escribir $$\underbrace{10\cdot 10 \cdot 10 \cdots 10}_{x \text {times}} $$

pero cuando tengo el caso de que $10$ es elevado a algunos de número decimal $x$ realmente me falta la intuición de lo que está pasando aquí.

Hago esta pregunta porque ,por ejemplo ,al leer ese $10^{0,48}=3,01...$ I simplemente no entienden cómo tenemos que $10$ elevado a un número que es igual a $3$.En general, ¿por qué es que cada número puede ser descrito como $10^x$ ?

P. s supongo que es importante que me dicen que estoy todavía en la escuela secundaria,así que usted sabe qué tipo de respuestas podría ser apropiado para mí.

Answer 1

Tenemos que $a^n$ para algún número natural $n$ es igual a $$ \underbrace{a\cdot a \cdots a}_{n\text{ momentos}} $$ tal y como lo dijo. Esta operación de exponenciación cumple un par de relaciones, que estoy seguro que has visto, como $a^n\cdot a^m = a^{n+m}$, $(a^n)^m = a^{nm}$ y $a^n:a^m = a^{n-m}$ (pero sólo para $n>m$ en el momento). Mientras $n$ $m$ son positivas, esto se puede verificar fácilmente.

Dicen que quieren averiguar cuál es la mejor definición posible de $a^n$ es para los negativos números enteros $n$. O $a^0$. ¿Qué queremos que a partir de esa definición? Bueno, queremos las mismas relaciones que el anterior para aplicar. Este, en concreto, significa que queremos que $1 = a^n:a^n = a^{n-n} = a^0$. Las mismas reglas también de la fuerza de $a^n\cdot a^{-n} = a^0 = 1$, lo que implica $a^{-n} = \frac1{a^n}$. Este párrafo, por supuesto, requiere que $a \neq 0$.

Ahora que hemos definido $a^n$ para todos los números enteros, ¿qué acerca de las fracciones? ¿Qué nos gustaría a partir de un número como $a^{1/n}$? Bien, una cosa que podría querer de la demanda es que $(a^{1/n})^n = a^{n/n} = a$. Mientras $a> 0$, la ecuación de $x^n = a$ tiene la única solución positiva de $x = \sqrt[n]{a}$, por definición de $n$-ésima raíz. Por lo tanto, por la regla de $(a^n)^m = a^{nm}$ a poderes racionales $n, m$ positiva y $a$, se debe tener $a^{1/n} = \sqrt[n]a$.

En este punto, por supuesto, debemos comprobar que las definiciones que hasta ahora hemos hecho todavía cumplir las tres reglas que configurar en el principio. En cada caso, una de las reglas forzó una opción para una definición, pero podría ser que a medida que se expandió el dominio posible de $n$, las reglas de vino en desacuerdo. Resulta que no, pero tiene que ser revisado.

Ahora, para irracional de los exponentes, no es directa, la satisfacción de definición que proviene de la expansión de lo que ya tenemos. Sólo hemos de exigir que la función de $x \mapsto a^x$, el cual es definido previamente para $x$ racional, es continua para todo real $x$. Esto obliga a un determinado valor de la función para cualquier número real, y resulta que la exponenciación reglas todavía se mantienen, por lo que es una buena definición.

La definición alternativa de que la gente podría utilizar para el real exponentes es que $ a^x = \operatorname{Exp}(x\ln a) $where $$\operatorname{Exp}(x) = 1+x+\frac{x^2}2 +\frac{x^3}6 + \cdots + \frac{x^n}{n!} +\cdots$$ y $\ln a$ se puede definir, por ejemplo, por $\int_1^a \frac 1t dt$. Esta es una definición completa que le dice exactamente lo $a^x$ es, pero no sale muy bien de el original de la $a^n$-definición.

Answer 2

Por el bien de la ilustración, he hecho un complot de los poderes de la $2$ ($10$ crecer demasiado rápido).

Se ve que son bien alineados en una superficie lisa y regular de la curva. Entonces es una cosa natural para definir las competencias para los no-números enteros también. Y por la continuidad de la curva, para cada número $y$, habrá algunos $x$ tal que $y=2^x$.

Cómo exactamente se pueden calcular estos es otro asunto, pero aquí hay una pista: es fácil demostrar que $\sqrt{2^{2n}}=2^n$. Entonces, podemos generalizar a real $x$ admitiendo $\sqrt{2^x}=2^{x/2}$. Esto nos dice $2^{0.5}=\sqrt{2}, 2^{1.5}=2\sqrt2,2^{0.25}=\sqrt{\sqrt{2}},2^{0.75}=\sqrt{\sqrt{2}}\sqrt{2}\cdots$

Answer 3

Por convención, si el poder es una fracción de la forma $\frac1n$ significa tomar la $n$-ésima raíz. Que es consistente con la regla, ya cierto para los exponentes de números enteros, que la toma de la $x-$th poder de la $y$-th el poder es el mismo que el $(x.y)$-ésima potencia.

Por extensión, entonces, si el poder es cualquier fracción, significa ordinario exponenciación con la potencia del numerador de la fracción, seguido por la raíz de tomar con el poder de el denominador de la fracción:

$$a^{\frac{x}y}=\sqrt[y]{a^x}$$

Si el exponente es irracional (es decir, un número real que no es una fracción), a continuación, el poder puede ser definido por un proceso de límite (aproximadamente el exponente cada vez más estrechamente con las fracciones). También hay un más sofisticado definición con logaritmos.

Por lo tanto, $10^{0.48}$ es la 12 ª energía de la 25-ésima raíz de 10, porque 0.48 es igual a la fracción de $\frac{12}{25}.$

Answer 4

Para cualquier finito de decimales número $a=0.d_1d_2d_3\ldots d_n 000\ldots$ tenemos que $a=\frac{d_1d_2d_3\ldots d_n}{10^{n+1}}$.

Cuando escribimos $x^a$, entonces lo que queremos decir es $$x^a=(x^{d_1d_2d_3\ldots d_n})^{1/10^{n+1}}$$ Que se nos tomamos x a la $d_1d_2d_3\ldots d_n$th de alimentación y, a continuación, el $10^{n+1}$th raíz de ello.

si $b$ es con infinitos decimales (y presumingly no racional) tenemos $$x^b=\lim_{n\to\infty}x^{a_i}$$ donde $a_i$ son números racionales que converge a $b$.

Answer 5

$$ \underbrace{10\cdot 10 \cdot 10 \cdots 10}_{x \text {momentos}} $$ es como $10^x$ está definido para números naturales $x$. Matemáticos como para ampliar las definiciones, y que ha sucedido con la exponenciación.

Al hacer estas extensiones, es bueno si conducen a la agradable resultados como reglas bien conocidas todavía la aplicación. Un primer paso es la observación de que $a^m*a^n=a^{m+n}$, esto nos permite ver lo que eleva a $\frac{1}{2}$ (y en general cualquier fracción) debe ser. Para entender la definición de elevar a general de poderes reales, usted (probablemente - pero alguien podría tener un truco que no sabe/no recuerda) necesitan conocer los logaritmos.

Ya que ahora se ha añadido un comentario diciendo que sabes logaritmos, voy a añadir un poco de. La observación es que: $$ a^q=\exp(q\log a) $$ (el uso de la misma base para$\exp$$log$, por supuesto, pero cualquier base va a hacer), ya que es una buena ($C^\infty$ por ejemplo) de la función, que se utiliza como genral definición de exponenciación.