No creo que haya una función "central" de QGIS para esto. Sin embargo, instale el plugin MMQGIS, y utilice la herramienta 'distancia del centro'. Elija sus puntos como la capa "Puntos de origen", y sus líneas como la "Capa de cubos de destino" y establezca "Tipo de forma de salida" a "Línea a cubo". Esto le dará un shapefile de líneas (con longitud) que unen las características más cercanas. Convenientemente, también añade el ID de la característica más cercana a la tabla de atributos.
Edición/Comentario: Este enfoque funciona bien si hay menos puntos que líneas, o bien una situación de línea a punto. Tener más puntos que líneas complica las cosas. La herramienta 'Hub Distance' añade el ID de la característica de la línea a la tabla de atributos del punto como 'HubName' junto con la distancia entre el punto y el centro de la línea como 'HubDist'. Si hay más puntos que líneas, se requiere un trabajo adicional para determinar dentro de cada subconjunto de puntos (aquellos registros múltiples vinculados a cada centro de línea) cuál de ellos es el más cercano a cada línea, y/o cuál es el que tiene el conjunto de atributos deseado para unirse a la línea.
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Hay una herramienta para hacer Join por ubicación pero no tiene una opción "más cercana". No sé si hay alguna solución. En general, por favor, evalúe para apoyar el desarrollo de sus opciones/herramientas favoritas que faltan, es también esta manera que los usuarios pueden ayudar a esta pieza de software a crecer.