Interesante propiedad del triángulo y las elipses que se forman en sus aristas

Question

Necesito demostrar el siguiente teorema. Parece que funciona, y parece ser intuitivo pero creo que me faltan habilidades en las pruebas de geometría para demostrarlo.

Versión más clara del teorema : Para cualquier triángulo $ABC$ en un plano, dibujamos el círculo $O$ tal que $AB$ es su diámetro. Colocando un punto $P$ dentro de $O$ dará lugar a la creación de un triángulo (ya sea $PAB$ , $PBC$ o $PAC$ ) de menor perímetro que $ABC$ .

Versión anterior (teorema base): Para un triángulo en un plano, podemos dibujar una elipse basada en cada una de sus aristas, de forma que los puntos extremos de esa arista sean puntos focales y el punto común de otras dos aristas se encuentre en el borde de esa elipse (describe todo triángulo con la misma arista "base" y toda combinación de otras dos aristas de forma que formen un triángulo con el mismo perímetro que el primero). Podemos dibujar 3 elipses de este tipo para el triángulo - llamemos a su unión $E$ . Demostrar que los círculos circunscritos a cada arista (la arista es el diámetro del círculo) de ese triángulo están dentro de $E$ .

¿De dónde viene? He encontrado una respuesta interesante al problema de encontrar 3 puntos de un conjunto de puntos de manera que el triángulo construido con ellos tenga el menor perímetro posible - es aquí . Quiero demostrar que este método funciona, ya que no me resulta nada "claro". Como es más fácil demostrar cualquier cosa en la triangulación de Delaunay haciendo referencia a los diagramas de Voronoi, probé ese método - sin buenos resultados.

El teorema anterior es un poco más que esto, pero parece que funciona (usé un software de visualización para comprobarlo y no pude crear un contraejemplo).

EDIT: Aquí hay ejemplos. Como se puede ver, sin perder una generalidad, elegimos $AB$ borde y dibujar un círculo tal que $AB$ es su diámetro. Ahora bien, este círculo está siempre dentro de la unión de las elipses.

1. 
2. Ejemplo 2
3. Ejemplo 3

Answer 1

Tomemos un punto R en la circunferencia de diámetro AB. Entonces el punto opuesto $C_0$ da lugar a tres elipses tales que R está en el límite. Nótese que $A$ , $B$ , $C_0$ , $R$ forman un rectángulo. Ahora bien, si llamamos a $d(A,B)=AB$ entonces $$ RA+RB=BC_0+AC_0, $$ por lo que $R$ está en la misma elipsis con puntos focales $A$ y $B$ como $C_0$ . Además $R$ está en el interior de cada elipse con puntos focales $A$ y $B$ que pasa por $C$ , si $$ RA+RB<BC+AC. $$ Esto significa que todos los $C$ fuera de la elipsis $$ RA+RB=BX+AX, $$ está en la zona buena $Z_1$ .

Además $$ RA+RC_0=BA+BC_0, $$ por lo que $R$ está en la misma elipsis con puntos focales $A$ y $C_0$ que pasa a través de $B$ .

Además $R$ está en el interior de cada elipse con puntos focales $A$ y $C$ que pasa por $B$ , si $$ RA+RC<BA+BC. $$ Esto significa que todos los $C$ en un lado de una rama de una hipérbola dada por $$ BX-RX=RA-AB $$ (que pasa por $C_0$ ) está en la zona buena $Z_2$ .

Ahora bien, tenga en cuenta que $$ RB+RC_0=AB+AC_0, $$ por lo que $R$ está en la misma elipsis con puntos focales $B$ y $C_0$ que pasa a través de $A$ .

Además $R$ está en el interior de cada elipse con puntos focales $A$ y $C$ que pasa por $B$ , si $$ RB+RC<BA+AC. $$ Esto significa que todos los $C$ en un lado de una rama de una hipérbola dada por $$ AX-RX=RB-AB $$ (que pasa por $C_0$ ) está en la zona buena $Z_3$ .

Finalmente se puede demostrar que la unión de $Z_1$ , $Z_2$ y $Z_3$ es todo el plano cartesiano, por lo que para cada $R$ y todos $C$ una de las elipsis definidas por $A$ , $B$ y $C$ contienen $R$ . Desde $R$ es arbitraria, esto demuestra el teorema.