¿Cuál es la probabilidad de que el producto de dos elementos es el elemento deseado?

Question

Deje $G$ ser un grupo con $n$ elemento. Fix $x\in G$.

Si usted elige al azar dos elementos de la $G$, ¿cuál es la probabilidad de $x$ ser producto de estos dos elementos?

Al principio, pensé que la respuesta era $1/n$, ya que, si $ab=x$ y si elijo $a$, es el único sistema que determina el $b$. Supongo que es la verdadera respuesta al $G$ es abelian.

Pero cuando $G$ es nonabeliean, $ab$ $ba$ pueden ser diferentes elementos; por lo tanto, la probabilidad es mayor que $1/n$. No puedo decir que la respuesta es $2/n$ ya que algunos de los pares todavía puede conmutar en nonabelian grupo.

También me di cuenta de que la probabilidad depende también de $x$, ya que, si $x=e$, usted debe elegir a $a,a^{-1}$ como un par, así que la respuesta es $1/n$, independientemente de $G$ es abelian o no.

Si denotamos esta probabilidad como $P_x(G)$ creo $1/n\leq P_x(G)\leq 2/n$.

Cualquier otro resultado será apreciado.

Como Geoff Robinson petición permítanme aclarar lo que quiero decir,

Deje $w\in GxG$ i,e, a $w=(a,b)$ digamos que $w$ sabe la respuesta si $ab=x$ o $ba=x$.

¿Cuál es la probabilidad de que $w$ sabe la respuesta?

Answer 1

Uno podría igualmente pide la probabilidad de ordenadas o no pares, con diferentes resultados.

Basta con contar el número de pares de $a,b$ satisfacción $x=ab\vee x=ba$ donde $x\in G$ es fijo.

Dicen que nos quieren contar los pares ordenados de no necesariamente distintos elementos. Aviso de la equivalencia $x=ab\vee x=ba\iff b=a^{-1}x\vee b=xa^{-1}$. Si nos ingenuamente contar dos $b$s para cada una de las $a\in G$ ser overcounting por uno para cada una de las $a$ satisfacción $a^{-1}x=xa^{-1}$, el número de los cuales es $|C_G(x)|$ donde $C_G(x)$ es el centralizador de $x$. Así llegamos a la conclusión de que el número de pares es $2|G|-|C_G(x)|$.

La correspondiente probabilidad es $$P=\frac{2|G|-|C_G(x)|}{|G|^2}. \tag{ordered}$$

Definir $\sqrt{x}:=\{a\in G:x=a^2\}$, el conjunto de "raíz cuadrada" de $x$. Deje $\Pi:=(x=ab\vee x=ba)$.

Supongamos que queremos contar los pares no ordenados de no necesariamente distintos elementos satisying $\Pi$; decir que hay un $N$ de estas parejas. Si tomamos $N$ y restar $|\sqrt{x}|$ tendremos el número de pares no ordenados de elementos distintos de satisfacciones $\Pi$. Si luego multiplicar por dos el número de pares ordenados de elementos distintos de satisfacciones $\Pi$. Si a ello sumamos en $|\sqrt{x}|$ tendremos el número de pares ordenados de no necesariamente distintos elementos de satisfacciones $\Pi -$ ya sabemos este número. Por lo tanto,

$$2\left(N-|\sqrt{x}|\right)+|\sqrt{x}|=2|G|-|C_G(x)|\iff N=|G|+\frac{|\sqrt{x}|-|C_G(x)|}{2}.$$

Terminamos demostrando $|C_G(x)|\equiv|\sqrt{x}|$ mod $2$. El número total de pares no ordenados de no necesariamente distintos elementos de $G$$(|G|^2+|G|)/2$. Por lo tanto la correspondiente probabilidad es

$$P=\frac{2|G|+|\sqrt{x}|-|C_G(x)|}{|G|^2+|G|}. \tag{unordered}$$

Si la fuerza de los elementos a ser distinto, las probabilidades, a continuación, convertirse en

$$P=\frac{2|G|-|\sqrt{x}|-|C_G(x)|}{|G|^2-|G|}, \tag{distinct}$$

para ambas ordenadas y desordenadas pares.

Answer 2

Asumiendo $a,b$ son uniformemente y de forma independiente distribuido: $P(ab=g\mid a=c)=P(b=a^{-1}g)=\frac{1}{n}$. Ahora suma más de $c$ conseguir $P(ab=g)=\sum _{c\in G}P(ab=g\mid a=c)\cdot P(a=c)$ conseguir $\frac{1}{n}$ como la respuesta final.

Answer 3

Su razonamiento en el caso de que $x = e$ es perfectamente buena, y funcionaría igual de bien con los demás elementos del grupo. Hay $|G|^{2}$ pares ordenados $(a,b)$, y para cada $x \in G$ no son, precisamente, $|G|$ pares ordenados $(a,b)$ tal que $ab= x.$