¿Por qué son las ondas electromagnéticas transversales?

Question

Estaba leyendo Griffiths' Introducción a la Electrodinámica, específicamente la sección de ondas planas. Puedo ver que si queremos una onda transversal que viaja en el $z$ sentido de que sólo vamos a querer que nuestros ondas de tener $x$ $y$ componentes, pero el razonamiento en Griffiths' me dejó confundido.

Empezamos con el campo eléctrico y magnético de las ondas de la forma

$E(z,t) = E_{0}e^{i(kz-\omega t)}$

$B(z,t) = B_{0}e^{i(kz-\omega t)}$

Ya que estamos en el espacio libre, tenemos que $\nabla \cdot E = \nabla \cdot B = 0$.

Ahora viene el paso crucial: Griffiths afirma que estos dos hechos inmediatamente implica que

$(E_{0})_{z} = (B_{0})_{z} = 0$

Yo no estaba seguro de cómo esto seguido. Sé que si quiero que mis olas a ser planas, que tengo el x y el y los derivados de los campos a 0, de modo que tenga una constante de magnitud a lo largo de un frente de fase constante, pero no estaba seguro de cómo ver que z derivado tuvo que ser cero, así. Parece que si usted tenía un campo eléctrico onda plana cuya parte real fue variando en el espacio como una función seno, que si usted fuera a mirar en su z derivado que se obtiene una función coseno.

Answer 1

Vamos a tomar un poco más de caso general: Considerar la posibilidad de una ola con vector de onda $\vec k=(k_x,k_y,k_z)$, con el campo eléctrico dado por $$\vec E=\vec E_0\ e^{i(\vec k \cdot \vec r-\omega t)} $$ donde $\vec r=(x,y,z)$. Ahora, nos wan't para satisfacer las ecuaciones de Maxwell en el vacío, incluyendo la ley de Gauss: $$\vec \nabla \cdot \vec E=0$$ La derivada es bastante fácil evaluado explícitamente $$ \vec \nabla\cdot \vec E=\vec \nabla \cdot \bigl(\vec E_0\ e^{i(\vec k \cdot \vec r-\omega t)}\bigr)=i\vec k \cdot \vec E_0 e^{i(\vec k \cdot \vec r -\omega t)} $$

Con el fin de satisfacer la ley de Gauss, debemos imponer: $$\vec k \cdot \vec E_0=\ \text{?}$$

Físicamente, esto significa que la dirección de propagación es siempre $\dots$ a la del campo eléctrico. El mismo argumento se aplica a la $\vec B$-campo.

Dejo como ejercicio para el lector para convencerlo de que (el/ella)auto que a la pregunta inicialmente planteada es equivalente, es decir, que podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\vec k = (0,0,k_z)$, lo que resulta en la conclusión alcanzada por Griffiths.

Answer 2

En esta respuesta, voy a empezar con una expresión real de $E$, porque creo que la exposición sea más clara. No hay pérdida de generalidad en hacer eso, porque la expresión real siempre será equivalente a la parte real del complejo versión de $E$, para algunos la elección apropiada de las de origen. Por lo tanto, mi punto de partida es

$$E(z,t)=E_0\ sin(k z-\omega t)\ .$$

Desde $E$ no dependen $x$ o $y$, claramente $\partial E/\partial x=0$$\partial E/\partial y=0$, por lo que la única manera de que la condición de $\nabla \cdot E=0$ siempre se puede tener es si $\partial E_z/\partial z=0$ siempre se mantiene, es decir,

$$0=\frac{\partial E_z}{\partial z}=(E_0)_z\ k \cos(k z-\omega t)\ .$$

La única manera para que la ecuación de mantener por todos los $z$ y todos los $t$ si $(E_0)_z=0$ o $k=0$. Si $(E_0)_z=0$, que era la cosa para ser probado, por lo que estaría hecho. La alternativa de $k=0$ significa que $E$ puede ser expresado como

$$E=E_0 \sin(-\omega t)\ .$$

Dado que no hay ningún involucrados, el Ampere-Maxwell ecuación se reduce a

$$\nabla \times B=\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}\ .$$

Pero

$$(\nabla \times B)_z=\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y}=0, $$

por lo que el $z$ componente de la Ampere-Maxwell ecuación implica que

$$0=\frac{\partial E_z}{\partial t}=-(E_0)_z\ \omega \cos(-\omega t)\ .$$

La única manera de que esa condición se mantenga para todas las $t$ si $(E_0)_z=0$, en caso de que lo hayamos hecho, o $\omega=0$. Pero si $\omega=0$, lo que significa que simplemente

$$E_z=(E_0)_z$$

para algunas constantes $(E_0)_z$, es decir, un no-cero $(E_0)_z$ en la mayoría de superponer un constante campo adicional en la parte superior de la ola. Además, las condiciones de frontera sería un problema con un no-cero $(E_0)_z$, debido a la integración de $E$ a lo largo de la $z$ eje resultaría en una forma arbitraria gran diferencia de potencial eléctrico. Así que la única físicamente posibilidad razonable es $(E_0)_z=0$.

La derivación de $(B_0)_z=0$ es casi el mismo, pero con $E$ $B$ transpuesto, y con un signo diferente o constante en un par de lugares.