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¿Es la transposición de la inversa de una matriz cuadrada la misma que la inversa de la transposición de esa misma matriz?
Respuesta
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Yves Daoust
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Esto se cumple si el anillo subyacente es conmutativo como muestran las respuestas. Si el anillo subyacente no es conmutativo, puede fallar.
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¿Quiere decir que si las entradas de las matrices no tienen la propiedad conmutativa, entonces esto no se cumple necesariamente? Interesante. Tal vez deberías añadir eso, con un poco más de detalle, a la respuesta aceptada existente.
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@user44400: ¡una gran observación! Me he dado cuenta ahora por $2\times 2$ matrices sobre cuaterniones que podemos tener matrices invertibles cuya transposición no es invertible ( por supuesto la transposición conjugada lo es...)
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También hay que decir que la transposición sólo cambia los índices de cada elemento. Escribir una fórmula explícita para la $ij$ entrada de $A^{-1}$ y el intercambio de todos los índices probablemente haría el truco. Tal vez un dolor de escribir a cabo, pero fácil de creer.