Transposición de la inversa frente a la inversa de la transposición

Question

No puedo encontrar la respuesta a esto usando Google.

¿Es la transposición de la inversa de una matriz cuadrada la misma que la inversa de la transposición de esa misma matriz?

Answer 1

Es de $(A ^ {-1}) ^ T = (A ^ T) ^ {-1} $ pregunte.

Bien $$ (A ^ T) (A ^ {-1}) ^ T = (A ^ {-1} A) ^ {T} = I ^ T = I. $$ Esto prueba que la inversa de $A ^ T$ es $(A ^ {-1}) ^ T$. Así que la respuesta a tu pregunta es sí.

Aquí he utilizado esta propiedad $$ A ^ TB ^ T = (BA) ^ T. $$ y hemos usado que la inversa de una matriz $A$ es exactamente la matriz $B$ tal que $AB = I$.

Answer 2

Dado que $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ es invertible, $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ se mantiene.

Prueba:

$A$ es invertible y $\textrm{rank }A = n = \textrm{rank }A^T,$ así que $A^T$ también es invertible. Conclusión: $$(A^{-1})^T = (A^{-1})^TA^T(A^T)^{-1} = (AA^{-1})^T(A^T)^{-1} = \textrm{id}^T(A^T)^{-1} = (A^T)^{-1}.$$

Answer 3

Supongamos que $A$ es una matriz cuadrada invertible. Entonces $A$ tiene un inverso a la izquierda; llamémoslo simplemente $C$ para evitar una notación confusa al principio. Así que, $A$ siendo (izquierda) invertible significa la existencia de algún $C$ para que $$CA=I$$ Tomando las transposiciones en ambos lados y utilizando la regla de transposición de un producto se obtiene $$A^T C^T = I$$ La última ecuación muestra que $A^T$ tiene un inverso de la derecha (que en realidad es $C^T$ ), y así $A^T$ es (derecho) invertible.

Haz lo mismo para las inversas del otro lado, o apela al hecho de que para matrices de dimensión finita tener una inversa de un lado es suficiente para asegurar que la misma matriz es una inversa de dos lados.

Lo que hemos demostrado entonces, es que $\left( A^T \right) ^{-1}$ existe y viene dada por la fórmula: $$\left( A^T \right) ^{-1} = \left( A^{-1} \right) ^T$$

Esto también demuestra, ya que la transposición de una transposición es la matriz original, que si $A$ no es invertible, entonces tampoco lo es $A^T$ .

Answer 4

Yo derivaría la fórmula paso a paso de esta manera.

Si tenemos una matriz invertible A, podemos escribir la siguiente ecuación (definición de matriz inversa):

$AA^{-1} = I$

Transpongamos ambos lados de la ecuación. (usando $I^{T} = I$ , $(XY)^T = Y^TX^T$ )

$(AA^{-1})^T = I^T$

$(A^{-1})^{T}A^T = I$

De la última ecuación podemos decir (basándonos en la definición de matriz inversa) que $A^T$ es la inversa de $(A^{-1})^{T}$ . Así que podemos escribir lo siguiente.

$(A^{-1})^{T})^{-1}=A^T$

Invirtiendo ambos lados de la ecuación obtenemos la fórmula deseada.

$(A^{-1})^{T}=(A^T)^{-1}$

Answer 5

Bueno, si el anillo subyacente no es conmutativo, $(AB)^T = B^{T}A^T$ ni siquiera es válida para $1 \times 1$ -matrices.