Demostrando una función es un abrir mapa

Question

Deje $U$ ser un sub-conjunto de $\mathbb{R}^2$, y deje $f$ ser una función continua $f:U\rightarrow \mathbb{R}^2$.

Me gustaría mostrar que $f$ es una tarjeta abierta, dado que para cada $u\in U$ existe un conjunto abierto $V_u$ en $U$ ($V_u\subseteq U$) tal que $f\uparrow_{V_u}$ es uno-a-uno.

No estoy muy seguro de por dónde empezar aquí?

Y suponiendo que voy a probar esto, ¿significa esto que la $f$ es homeomorphism? Porque si $f$ es abierta para $f^{-1}$ es continua, derecho?

Answer 1

Deje $ V $ ser un subconjunto de a $U$. Escribir $ V $ como una unión de abrir conjuntos de $\{V_i\}_{i\in I}$ que $f$ es de 1:1. Aplicar la Invariancia del Dominio teorema para cada conjunto abierto $V_i$. Luego de recordar que en la unión de bloques abiertos es abierta.

También tenga en cuenta que un mapa como $f$ no es un homeomorphism, utilizando Chocosup del ejemplo o similar. Mi favorita ejemplo similar es el de tomar el aparato abierto de la plaza, de estirar el rectángulo $(0,9)\times(0,1)$, y finalmente se envuelve en (cubriendo $(0,1)\times(0,1)$ dos veces) $\{(0,3)\times(0,3)\} - \{[1,2]\times[1,2]\}$.

Editar en la descomposición de la $ V $: Para cada una de las $ v\in V $ deje $ \hat V_v $ ser un barrio con $ f $ 1:1. A continuación, vamos a $ V_v := \hat V_v \cap V $. Debido a $\mathbb{R}^2$ es razonable que usted puede bajar de la colección de $V_v$ a un contable de la colección, pero no es necesario aquí.

Answer 2

Aún no sé cómo probar su cosa, pero en cuanto a tu última pregunta, la respuesta es no. De hecho, usted debe suponer que $f$ a nivel mundial es uno-a-uno.

Usted podría considerar este ejemplo : considere el $U = \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$, e $f : (\rho, \theta) \mapsto (\rho, 2\theta)$ en coordenadas polares. Entonces claramente $f$ no es un homeomorphism, sino $f$ es abierto y satisface su condición.

De manera más general, cualquier cubriendo mapa satisface sus propiedades, pero no es en general un homeomorphism.

Answer 3

Hay algo mal aquí!

$f$ abierto significa que: la imagen por $f$ abierta en $U$ está abierto.

@Eric: Se asume que el $f$ es un local bijection: cualquier $x\in U$ admite un abrir vecindario $V_x\subset U$ tal que $f(V_x)$ es uno-a-uno. (una constante mapa es continua pero no es un local bijection).

A partir de esta suposición le gustaría probar ese $f$ está abierto. Según lo sugerido por Joe Manlove, la forma de la invariancia de dominio, usted puede probar que es un local homeomorphism y abierto. No se puede deducir que $f$ es un homeomorphism a menos que sea uno-a-uno.

Otro caso de interés para usted es, al $f$ es una inmersión (su diferencial está en todas partes a), usted puede probar que $f$ está abierto.