Una integral múltiple pregunta

Question

Demostrando que $$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\int_0^1 \int_0^1 \cdots \int_0^1}_{n \text{ times}}\frac{1}{(x_1\cdot x_2\cdots x_n)^2+1} \mathrm{d}x_1\cdot\mathrm{d}x_2\cdots\mathrm{d}x_n=1$$

Answer 1

Desde $$ \int\limits_{0}^{1}\ldots\int\limits_{0}^{1}dx_n\ldots dx_1=1 $$ es suficiente para demostrar que $$ \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{0}^{1}\ldots\int\limits_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{(x_1\cdot\ldots\cdot x_n)^2+1}\right)dx_n\ldots dx_1=0 $$ que es equivalente a $$ \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{0}^{1}\ldots\int\limits_{0}^{1}\frac{(x_1,\cdot\ldots\cdot x_n)^2}{(x_1,\cdot\ldots\cdot x_n)^2+1}dx_n\ldots dx_1=0 $$ Ahora tenga en cuenta que $$ \begin{align} 0&\leq \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{0}^{1}\ldots\int\limits_{0}^{1}\frac{(x_1\cdot\ldots\cdot x_n)^2}{(x_1\cdot\ldots\cdot x_n)^2+1}dx_n\ldots dx_1\\ &\leq \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{0}^{1}\ldots\int\limits_{0}^{1}(x_1\cdot\ldots\cdot x_n)^2dx_n\ldots dx_1\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n=0 \end{align} $$ Y el resultado de la siguiente manera.