Un subgrupo de un grupo cíclico es cíclico - la Comprensión de la Prueba

Question

Estoy teniendo algunos problemas para la comprensión de la prueba del siguiente teorema

Un subgrupo de un grupo cíclico es cíclico

Voy a enumerar cada paso de la prueba en mi libro de texto e indicar los lugares en los que estoy confundido y espero que en algún lugar ahí fuera puede aclarar algunas cosas para mí.

Prueba

Sea G ser un grupo cíclico generado por "$a$" y vamos a ser H un subgrupo de G. Si $H = {\{e\}}$, $H \text{ = <e>}$ es cíclico. Si $H \neq \space {\{e\}}$, $a^n \in H$ algunos $n \in \mathbb{Z}^{+}$. Deje $m$ ser el entero más pequeño en $\mathbb{Z}^{+}$ tal que $a^m \in H$.

Pretendemos que $c = a^m$ genera H; es decir,

$$H \space = \space <a^m> \space = \space <c>.$$

Debemos mostrar que todos los $b \in H$ es una potencia de c. Desde $b \in H$$H \leq G$, $b = a^n$ algunos $n$. Encontrar $q$ $r$ tal que

$$ n = mq + r \space \space \space \space for \space \space \space 0 \leq r < m,$$

Bien esta es la primera parte de la prueba donde empiezo a confundir. ¿De dónde viene el algoritmo de la división provienen y por qué lo están utilizando? La prueba continúa de la siguiente manera:

$$a^n = a^{mq + r} = (a^m)^q \cdot a^r,$$

así

$$ a^r = (a^m)^{-q} \cdot a^n.$$

Ahora ya $a^n \in H$, $a^m \in H$, y $H$ es un grupo, tanto en$(a^m)^{-q}$$a^n$$H$. Así

$$(a^m)^{-q} \cdot a^n \in H; \space \space \space \text{that is,} \space \space a^r \in H.$$

Este es otro punto en el que estoy un poco confundido. Qué es exactamente acerca de $a^n$ $a^m$ elementos de $H$ nos permite aceptar que $(a^m)^{-q}$$a^{n}$$H$? La prueba sigue:

Desde $m$ fue el menor entero positivo tal que $a^m \in H$ y $0$ $\leq r$ $< m$, debemos tener $r = 0$. Por lo tanto $n = qm$ y

$$b \space = \space a^n \space = \space (a^m)^q \space = \space c^q,$$

por lo tanto, b es una potencia de c.

Este paso final es confuso, pero creo que es sólo porque de las partes anteriores estaba confundido acerca de. Cualquier ayuda en la comprensión de esta prueba sería muy apreciada

Answer 1

Para la primera pregunta, la aparición del algoritmo de la división se explica mejor por su utilidad en el resto de la prueba. Usted podría pensar que es porque desea $n=qm$, como usted necesita mostrar que $a^n$ es una potencia de $a^m$, pero lo mejor que puedes hacer en ese punto, es decir $n=qm+r$ y, a continuación, intentar demostrar $r=0$.

Para la segunda pregunta, como $a^m\in H$,$(a^m)^{-1}\in H$, como subgrupos están cerrados en tomar la recíproca, y, a continuación,$(a^m)^{-q}=((a^m)^{-1})^q\in H$, como subgrupos está cerrado bajo la multiplicación.

Answer 2

En primer lugar, el uso del algoritmo de la división es por el bien de utilidad, ya que proporciona una base para la estructura de la prueba. Aquí, queremos relacionar $n$$m$, es decir, queremos mostrar que $n$ debe ser un múltiplo de $m$, pero empecemos con el hecho de que lo que sabemos de cualquier $n$, entonces dado cualquier entero positivo $m$, por el algoritmo de la división, existen enteros únicos enteros $q$ $r$ donde $0\leq r\lt m$ tal que $n = mq + r$.

Esencialmente, esto significa que para cualquier $n$, si dividimos por un número entero positivo $m$, tenemos un único entero de cociente $q$ y un entero único resto $r$ donde $0\leq r \lt m$. Así que para mostrar que $m$ es un múltiplo de a $n$ (sin resto), queremos mostrar que $n = qm + 0$. I. e. queremos $n=qm$, con el fin de mostrar que el $a^n$ es una potencia de $a^m$, pero en la mayoría de los que podemos empezar con el hecho de que $n=qm+r$. El objetivo es demostrar que $r=0$.

Para la segunda pregunta, ya que el $a^m\in H$, se deduce $(a^m)^{-1}\in H$, desde los subgrupos están cerrados en tomar la recíproca. Entonces, desde $a^m, (a^m)^{-1} \in H$, $(a^m)^{-q}=((a^m)^{-1})^q\in H$, desde subgrupos son cerrado bajo la multiplicación.

¿Esta aclarar las cosas?

Answer 3

un trivial cíclico grupo es un grupo con un singleton set de generación de energía, y viceversa.

vamos a H ser un grupo cíclico, y supongamos $K$ es un no-cíclico de los subgrupos.

evidentemente $K$ es un buen subgrupo de H y no tiene ningún conjunto de generadores de cardinalidad menor que 2.

elegir un generador de $h$ para H.

en el examen de la generación de conjuntos de $K$, se podrá excluir a cualquiera que contienen la identidad.

y desde $K$ es adecuado, no hay generación de set contiene $h$

para $K$ elegir un set de generación de energía $\mathfrak{K}$ que contiene un elemento $h^m$ donde $m \gt 1$ es el mínimo entre todos los poderes de la $h$ se producen en la generación de conjuntos de K.

sin pérdida de generalidad podemos suponer que para cualquier $p \gt 1$ tenemos $h^{pm} \notin \mathfrak{K}$

desde $|\mathfrak{K}| \ge 2$

$$ \existe n \gt m.h^n \in \mathfrak{K} $$ definir $a \ge 1$ por $$ a = \max\{b|bm \lt n\} $$ de ello se sigue que: $$ 0 \lt n-am \lt m $$ pero desde $h^{n-am}=h^n (h^m)^{-a} \in K$ se sigue que $\mathfrak{K}'=\mathfrak{K} \cup \{h^{n-am}\}$ es un grupo electrógeno $K$ contradiciendo la minimality en nuestra elección de $m$