¿Cuántos pares de polinomios $(U,V)\in \Bbb Z[x]^2$ tal que $P=U^2+V^2$ para un determinado polinomio con coeficientes enteros?

Question

Esta pregunta no es más que la curiosidad pregunta.

Para los números enteros sabemos que un entero positivo $n$ es una suma de dos cuadrados si y sólo si para cualquier prime $p$ tal que $p\equiv 3 \mod 4$ tenemos $v_p(n)$ es aún, y sabemos también que el número de posibles representaciones de $n=x^2+y^2$$r_2(n)=4(d_{4,1}(n)-d_{4,3}(n))$.

Mi pregunta se pide resultados similares para otros anillos de $\Bbb Z[x]$ por ejemplo

Dado un polinomio $P\in \Bbb Z[x]$ ¿cuántos pares de polinomios $(U,V)\in \Bbb Z[x]^2$ tal que $P=U^2+V^2$

Esto puede ser interpretado en $\Bbb Z[i][x]$ como la factorización de $P$, pero el problema es cuántos divisores $P$ $\Bbb Z[i][x]$ puede tener, por ejemplo: $x^2+1=(x+i)(x-i)=(x^2+1)1 $

Answer 1

Sí, existen resultados similares para los polinomios en $\mathbb{Z}[x]$. La primera observación es, que necesitamos $P(x)\ge 0$ en el fin de representar a $P$ como la suma de dos cuadrados en $\mathbb{Z}[x]$. Hay el siguiente resultado de Davenport, Lewis y Schinzel, que reduce la cuestión a la suma de dos cuadrados en $\mathbb{Z}$.

Si $f(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros tales que cada progresión aritmética contiene un entero $n$ que $f(n)$ es un suma de dos cuadrados, a continuación, $f(x) = u(x)^2+v(x)^2$ donde $u$ $v$ polinomios con coeficientes enteros.

Answer 2

Escrito $P(x) = U(x)^2+V(x)^2$ es igual a escribir a $P(x) = (U(x)+i V(x))(U(x)-i V(x))$. Factor $P(x)$ sobre el UFD $\mathbb{Z}[i][x]$ $$i^s (1+i)^t \prod_i \pi_i^{a_i} \overline{\pi_i}^{a_i} \prod_j q_j^{b_j} \prod_k \phi_k(x)^{c_k} \overline{\phi_k}(x)^{c_k} \prod_{\ell} g_{\ell}(x)^{d_{\ell}} \quad (\ast)$$ donde

• el $\pi_i$ son primos de Gauss no en $\mathbb{Z} \cup i \mathbb{Z}$

• el $q_j$ son enteros primos

• el $\phi_k(x)$ son primitivas polinomios irreducibles en $\mathbb{Z}[i][x]$ no $\mathbb{Z}[x] \cup i \mathbb{Z}[x]$

• el $g_{\ell}(x)$ son primitivas polinomios irreducibles en $\mathbb{Z}[x]$.

Para escribir $P(x)$$(U(x)+iV(x))(U(x)-iV(x))$, tenemos que dividir los factores en $(\ast)$ en dos conjugado complejo de conjuntos. Con el fin de ser capaz de hacer todo esto, tenemos las siguientes condiciones necesarias:

• El $b_j$ $d_{\ell}$ son todas iguales. Tenga en cuenta que esto obliga a todas las raíces reales de $P$ tener incluso la multiplicidad, por lo $P(x) \geq 0$ o $P(x) \leq 0$ todos los $x$.

• $2s+t \equiv 0 \bmod 8$. En el contexto de la condición anterior, esto es equivalente a $P(x) \geq 0$ todos los $x$.

Suponiendo que se cumplen estas condiciones, me sale que hay $$4 \prod_i (a_i+1) \prod_{k} (c_k+1)$$ diferentes formas de factor de $P(x) = (U(x)+iV(x))(U(x) - i V(x))$. El factor de $4$ proviene de la elección de que el poder de $i$ poner en cada factor.