Voy a ir en círculos mientras trato de responder a la pregunta:
En primer lugar, dada una ortonormal base $\{e_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ de un espacio de Hilbert (separable de dimensión infinita), La identidad de Parseval -el caso de la igualdad de La desigualdad de Bessel -implica que $x = \sum_{n \in \mathbb{N}} \langle x, e_n\rangle e_n$ donde la suma converge en norma.
La igualdad $$\sum_{n\in\mathbb{N}} |\langle x, e_n\rangle|^{2} = \|x\|^2$$ puede verse como un teorema pitagórico de dimensión infinita.
Ahora bien, si $\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ es un sistema ortonormal, el vector $Px = \sum_{n\in\mathbb{N}} \langle x,f_n\rangle f_n$ se encuentra en el tramo lineal cerrado de $\{f_n\}_{n}$ y su longitud al cuadrado es $\|Px\|^2 = \sum_{n\in\mathbb{N}} |\langle x,f_n\rangle|^2$ por Parseval. Ahora la desigualdad de Bessel nos dice que $\|Px\| \leq \|x\|$ y por lo tanto el mapa $x \mapsto Px$ es continua de norma $1$ desde $P$ es obviamente lineal. Se satisface $P^2 = P$ y es fácil comprobar que $P^{\ast} = P$ Así que vemos que $P$ es una proyección ortogonal y, por definición, su rango es el tramo cerrado de $\{f_n\}$ . Obviamente, $x = Px + (1-P)x$ y $P^{\ast} = P$ nos da que $$\langle Px, (1-P)x \rangle = \langle x, (P-P^2)x \rangle = 0,$$ así que $Px \perp (1-P)x$ . Ahora, en el subespacio (a lo sumo) bidimensional abarcado por $Px$ y $(1-P)x$ tenemos un triángulo rectángulo con ángulos $0,Px,x$ . Expandiendo el producto escalar, vemos
$$\|x\|^2 = \langle Px + (1-P)x, Px + (1-P)x \rangle = \|Px\|^2 + \|(1-P)x\|^2$$ que por supuesto no es otra cosa que Pitágoras.
Ahora bien, esta igualdad junto con $\|Px\|^2 = \sum_{n\in\mathbb{N}} |\langle x,f_n\rangle|^2$ nos devuelve la desigualdad de Bessel
$$\sum_{n\in\mathbb{N}} |\langle x,f_n\rangle|^2 \leq \|x\|^2$$
y vemos que el defecto se mide por $(1-P)x$ La parte de $x$ ortogonal a la extensión de la $\{f_n\}$ .
Por último, el ángulo $\phi$ entre $x$ y $Px$ es definido por $$\cos{\phi} = \frac{\langle x, Px \rangle}{\|x\|\,\|Px\|},$$ donde la fracción está en $[-1,1]$ por Cauchy-Schwarz, y eso nos da la interpretación de $Px$ como la "proyección del coseno" de la hipotenusa $x$ de nuestro triángulo con esquinas $0,Px,x$ .
No me consta que haya una tercera cosa que se te haya escapado (excepto si estás dispuesto a contar a Parseval). Espero que esto responda a tu pregunta, yo por mi parte encontré estas consideraciones esclarecedoras cuando las hice por primera vez.
