Deje $(X, \mu)$ $\sigma$- finito medir el espacio, y $P_t$ simétrica, Markovian, fuertemente continua contracción semigroup en $L^2(X,\mu)$. (Markovian significa que si $f \in L^2$$0 \le f \le 1$, luego $0 \le P_t f \le 1$ $\mu$-una.e. En particular, $P_t$ es de positividad de conservar.)
Me gustaría mostrar:
Reclamo: $P_t$ es también una fuerza continua contracción semigroup en $L^1$.
He encontrado dos pruebas de esto por Silverstein: En su libro 1974 Simétrica procesos de Markov (MathSciNet), es algo complicado de la prueba (adjunto abajo), que parece ser el uso de una generalización de la esperanza condicional a $\sigma$-finito medir los espacios. A continuación, en el Lema 1.1 de esta 1978 papel, no es una simple prueba, pero todavía se utiliza en algunos especializados integrabilidad uniforme resultados.
Mi prueba, que sigue, es mucho más simple, que, naturalmente, me hace sospechar. Así que me gustaría estar interesado en los comentarios.
EDIT: Ya esta pregunta, me encontré con que una prueba muy similar a la de mi prueba a continuación, aparece en el N. Bouleau y F. Hirsch, Dirichlet Formas y Análisis en el Espacio de Wiener (MathSciNet) en las Proposiciones 2.2.1 y 2.4.2
Prueba. Mostrando que $P_t$ se extiende a una contracción semigroup en $L^1$ es fácil. Tenga en cuenta que $L^1 \cap L^2$ es denso en $L^1$. Supongamos $f \in L^2 \cap L^1$; le mostraremos $||P_t f||_1 \le ||f||_1$, por lo que el $P_t$ se extiende continuamente a $L^1$. Por el Markovian propiedad es suficiente con considerar el $f \ge 0$. Deje $A_n$ ser una secuencia de conjuntos finitos medida que el $A_n \uparrow X$; a continuación, para cada una de las $n$, $$\int_X (P_t f) 1_{A_n} = \int_X f P_t 1_{A_n} \le \int_X f = ||f||_1$$ desde el Markovian propiedad le $P_t 1_{A_n} \le 1$. (Edit: La primera igualdad se mantiene debido a $P_t$ es asumido a ser simétrica.) Por la monotonía de la convergencia, como $n \to \infty$ la derecha va a $\int_X P_t f = ||P_t f||_1$.
Ahora nos muestran la fuerte continuidad. Primero vamos a $f \in L^2 \cap L^1$$f \ge 0$. Deje $t_n \downarrow 0$. Tenemos $P_{t_n} f \to f$$L^2$; paso a una larga podemos suponer $P_{t_n} f \to f$.e. Para cada una de las $n$ tenemos $|P_{t_n} f - f| \le P_{t_n} f + f$, de modo que imitan la prueba del teorema de convergencia dominada: $$\begin{align*}\int_X 2f &= \int \lim \left(f + P_{t_n} f - |P_{t_n} f - f|\right) \\\\ &\le \liminf \left( \int f + \int P_{t_n} f - \int |P_{t_n} f - f| \right) && \text{(Fatou's lemma)}\\\\ &\le \liminf \left( 2 \int f - \int |P_{t_n} f - f| \right) && \text{since }||P_{t_n} f||_1 \le ||f||_1 \\\\ &= 2 \int f - \limsup \int |P_{t_n} f - f| \end{align*}$$ que, después de la reorganización, dice $\limsup \int |P_{t_n} f - f| = 0$. Así, hemos mostrado $P_t f \to f$$L^1$. Tomando positivos y negativos de las piezas que se extiende de este a arbitrario $f \in L^1 \cap L^2$. Se extiende a $f \in L^1$ también es fácil, ya $L^2 \cap L^1$ es denso en $L^1$ y cada una de las $P_{t_n}$ es una contracción en $L^1$. QED
Intuitivamente, Fatou del lema dice que $L^1$ convergencia sólo puede fallar cuando la función de limitación tiene muy poca masa (nunca puede tener demasiado). Pero la contracción de la propiedad dice que esto no suceda.
Aquí es Silverstein 1974, a prueba de referencia. La primera línea se corta y dice "Lema 1.3. Para $f \in L^1(dx)$". (Edit: por cierto, yo no soy capaz de ver por qué la supuesta igualdad de $\mathcal{F}_0 \mathcal{F}_t f(X_0) = P_t (1/P_t 1) P_t f (X_0)$ mantiene.)
