Extensión de carácter en las álgebras de Banach

Question

Dejemos que $A$ sea un álgebra de Banach. El funcional lineal continuo $\phi:A\to\Bbb{C}$ se llama carácter si es una función multiplicativa no nula, es decir, para cada $a,b\in A$ tenemos $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$ . El conjunto de todos los caracteres es el siguiente $\sigma(A)$ .

Supongamos ahora que $A,B$ son álgebras de Banach tales que $A$ es el ideal de $B$ . Dejemos que $\phi\in\sigma(A)$ . ¿Existe una $\psi\in\sigma(B)$ tal que para todo $a\in A, \psi(a)=\phi(a)$ ? Si existe, ¿es único? Si no existe nunca, ¿en qué condiciones existe?

Answer 1

Desde $\phi$ es distinto de cero se puede elegir $a\in A$ con $\phi(a)=1$ . Entonces defina $\psi(x)=\phi(ax)$ . Esto está bien definido porque $A$ es un ideal. Es claramente lineal, y es multiplicativo porque $\psi(xy)=\phi(axy)=\phi(axy)\phi(a) = \phi(axya)=\phi(ax)\phi(ya)=\psi(x)\phi(a)\phi(ya)=\psi(x)\phi(aya)=\psi(x)\phi(ay)\phi(a)=\psi(x)\psi(y).$

Para $x\in A$ tienes $\psi(x)=\phi(ax)=\phi(a)\phi(x)=\phi(x)$ . Finalmente, $\psi$ es continua porque los caracteres en las álgebras de Banach son siempre continuos (o por la continuidad de $B\to A$ , $x\mapsto ax$ que se deduce del teorema del gráfico cerrado si la inclusión $A\hookrightarrow B$ es continua).

La extensión es única: Si $\tilde \psi$ es cualquier extensión, entonces $\tilde \psi(x)=\phi(a) \tilde \psi(x)=\tilde \psi(a)\tilde \psi(x)=\tilde \psi(ax)=\phi(ax)=\psi(x)$ .